Ó pravoúhlý trojuhelník dostane toto jméno, protože jeden z jeho úhlů má míru 90 °, tj. je to pravý úhel. Být jedním z nejvíce studovaných polygonů v rovinná geometrie, bylo možné vidět určité vztahy mezi úhly a také mezi stranami tohoto obrázku.
Ó Pythagorova věta, například to bylo vyvinuto po zjištění, že existuje vztah mezi měřeními stran trojúhelníku. Pokud tedy známe měření dvou stran trojúhelníku, je možné vypočítat hodnotu třetí strany. Pythagorova věta říká, že součet čtverce nohou je vždy roven čtverci přepony.
Kromě Pythagorovy věty byla další důležitá oblast vyvinutá studiemi tohoto trojúhelníku: trigonometrie, ve kterém jsou vyvinuty poměry mezi stranami trojúhelníku, známé jako sinus, kosinus a tangenta. Z těchto důvodů bylo zjištěno, že existuje poměr mezi měřeními stran pravoúhlých trojúhelníků, které mají stejné úhly.
Přečtěte si také: Jaké jsou pozoruhodné body trojúhelníku?
Vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku
Pravý trojúhelník je a mnohoúhelník, který má tři strany
a tři úhly, a jeden z těchto úhlů je rovný, to znamená, že má 90 °. Ostatní dva úhly jsou ostré, tj. Menší než 90 °. Nejdelší strana, která je vždy naproti úhlu 90 °, je známá jako přeponaa další dva jsou voláni peccaries.Pravý trojúhelník zachovává všechny známé vlastnosti společného trojúhelníku, například skutečnost, že The součet vnitřních úhlů být rovna 180 °. Protože součet je vždy 180 ° a jeden z jeho úhlů již má 90 °, můžeme říci, že další dva úhly jsou vždy komplementární, to znamená, že jejich součet se také rovná 90 °.
a a b → prsa
c → přepona
Obvod pravoúhlého trojúhelníku
Obvod libovolného mnohoúhelníku je délka součtu všech jeho stran. Chcete-li tedy vypočítat obvod pravého trojúhelníku, přidejte pouze jeho strany.
P = a + b + c
oblast pravoúhlého trojúhelníku
THE oblast trojúhelníku obdélník, stejně jako a trojúhelník jakýkoli, je polovina produktu mezi základnou a výškou. Na pravém trojúhelníku je zvláštní to, že jedna z jeho nohou se shoduje s její výškou, protože jsou na sebe kolmé, takže pro výpočet plochy, vynásobíme nohy a výsledek vydělíme dvěma.
Příklad:
Vypočítejte obvod a plochu pravého trojúhelníku níže s vědomím, že jeho strany jsou uvedeny v centimetrech.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Nyní vypočítáme plochu:
Podívejte se také: Výpočet plochy trojúhelníku pomocí úhlů
Pythagorova věta
Nejznámější teorém v matematice je bezpochyby Pytagorova věta. Z této věty bylo vidět, že strany pravoúhlého trojúhelníku souvisejí následujícím způsobem: vzhledem k pravému trojúhelníku, součet čtverce nohou se rovná přeponě na druhou.
a² + b² = c²
a a b → prsa
c → přepona
Z této věty je možné zjistit hodnotu obou stran pravoúhlého trojúhelníku, pokud jsou známy další dva.
Příklad:
Jaká je hodnota přepony pravého trojúhelníku níže s vědomím, že jeho měření jsou uvedena v centimetrech?
Při použití Pythagorovy věty musíme:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x = √ 100
x = 10 cm
Chcete-li se dozvědět více o tomto důležitém vztahu, přečtěte si text: TPythagorova věta.
Trigonometrie v pravém trojúhelníku
Název trigonometrie již odkazuje na předmět studia:
- tri → tři;
- gono → úhel;
- metriky → metrika nebo míra.
Trigonometrie je tedy oblast matematiky, která studuje vztah mezi měřeními úhlů trojúhelníku a tady se budeme držet pravého trojúhelníku. Trigonometrie studuje poměr mezi stranami trojúhelníku podle jeho úhel. Díky tomu bylo možné vyvinout důležité koncepty, které jsou důvody sinus, kosinus a tečna. Stojí za zmínku, že další trigonometrické důvody byly vyvinuty s prohloubením studia trigonometrie v trigonometrickém kruhu.
Než pochopíme, co je každý z těchto poměrů, je důležité pochopit, co je opačná strana a co sousední strana pod úhlem trojúhelníku.
Jak jsme viděli, přepona je strana představovaná segmentem AB, protože je to vždy nejdelší strana trojúhelníku a také bočním úhlem 90 °. Ostatní strany jsou známé jako nohy. V závislosti na úhlu, který považujeme za referenční, může být strana opačná nebo sousední.
Když se dívá do úhlu, je pekari známý jako opak. Boční opačný úhel ꞵ je například strana AC; na druhé straně, strana, která je v opačném úhlu, je strana BC.
Ó pekari je známý jako sousední když on tvoří úhel poblíž přepony. Všimněte si, že úhel ꞵ je mezi stranou BC a AB. Protože AB je přepona pravého trojúhelníku, pak AB je noha sousedící s úhlem ꞵ. Při použití stejného uvažování je možné vidět, že lado AC je sousední strana úhlu ɑ.
Pochopením každé strany trojúhelníku je možné porozumět trigonometrické poměry.
Abychom mohli použít trigonometrické poměry, musíme znát pozoruhodné úhly, to znamená úhly 30 °, 45 ° a 60 °. Většina problémů se zkouškami a přijímacími zkouškami souvisí s těmito úhly, a proto je nutné znát hodnoty důvodů pro každý z nich.
Podívejte se na tabulku s hodnotami sinus, kosinus a tangenta pro významné úhly:
Znát hodnotu trigonometrických poměrů trojúhelníku pomocí strany a úhlu je možné z trigonometrie najít všechny strany pravého trojúhelníku.
Příklad:
Najděte hodnotu x.
Chcete-li zjistit hodnotu x, podívejme se na úhel, který byl dán. Všimněte si, že sousedí se stranou, ze které známe míru, tj. AC sousedí s úhlem 30 °. Poté použijeme tangenciální poměr, který souvisí se sousední stranou a přeponou. Při pohledu na tabulku také víme, že kosinus 30 ° se rovná √3 / 2.
Také přístup: 4 nejčastější chyby v základní trigonometrii
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - (IFG) Theodolit je přesný přístroj pro měření vodorovných a svislých úhlů, používaný při stavebních pracích. Byla najata společnost na malování čtyřpodlažní budovy. Aby zjistila celkovou plochu, která má být natřena, musí zjistit výšku budovy. Jedna osoba umístí nástroj na výšku 1,65 metru a najde úhel 30 °, jak je znázorněno na obrázku. Za předpokladu, že teodolit je od budovy vzdálený 13√3 metrů, jaká je výška v metrech budovy, která má být natřena?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Řešení
Alternativa D.
Protože chceme najít stranu naproti 30 ° úhlu, protože víme, že vzdálenost 13√3, což je vzdálenost od teodolitu k budově, je strana sousedící s 30 ° úhlem, takže použijeme tečnu:
Nyní přidáme 13 + 1,65 = 14,65 metrů vysoký.
Otázka 2 - Při provádění výsadby na svém pozemku farmář rozdělil svou kultivovatelnou půdu v obdélníkovém tvaru na polovinu, na její úhlopříčku, a vytvořil dva pravé trojúhelníky. V této divizi bude polovina pozemku oplocena drátem pomocí 4 drátů. Kolik peněz bude vynaloženo na drát, když víte, že pozemky jsou široké 20 metrů a dlouhé 21 metrů?
A) 29 metrů
B) 70 metrů
C) 140 metrů
D) 210 metrů
E) 280 metrů
Řešení
Alternativa E.
Nejprve najdeme úhlopříčku terénu, což je přepona pravého trojúhelníku. Abychom to usnadnili, vytvoříme situaci:
Musíme tedy:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d = 29
Abychom to obešli, musíme mít 29 + 20 + 21 = 70 metrů, stejně jako 4 kola, 70,4 = 280 metrů.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm