Řešit systémylineární jedná se o velmi opakující se úkol pro studium v oborech přírodních věd a matematiky. Hledání neznámých hodnot vedlo k vývoji metod řešení lineárních systémů, jako je metoda sčítání, rovnosti a substituce u systémů, které mají dvě rovnice a dvě neznáméa Crammerovo pravidlo a škálování, které řeší lineární systémy dvou rovnic, ale které jsou výhodnější pro systémy s více rovnicemi. Lineární systém je sada dvou nebo více rovnic s jednou nebo více neznámými.
Přečtěte si také:Jaký je vztah mezi maticemi a lineárními systémy?
lineární rovnice
Práce s rovnicemi existuje díky potřeba najít neznámé neznámé hodnoty. Říkáme tomu rovnice, když máme algebraický výraz s rovností, a je klasifikován jako lineární, když největší exponent jeho neznámých je 1, jak je znázorněno v následujících příkladech:
2x + y = 7 → lineární rovnice se dvěma neznámými
a + 4 = -3 → lineární rovnice s jednou neznámou
Obecně lze lineární rovnici popsat:
The1X1 +2X2 + a3x3... + aNeXNe = c
Systém rovnic známe jako lineární rovnici. Začneme lineárními systémy dvou neznámých.
Řešení lineárních systémů
Lineární systémy se dvěma rovnicemi 1. stupně a dvěma neznámými
K řešení systému dvou rovnic a dvou neznámých existuje několik metody, tři nejznámější jsou:
- srovnávací metoda
- metoda přidání
- substituční metoda
Kdokoli ze tří může vyřešit lineární systém dvou rovnic a dvou neznámých. Tyto metody nejsou tak efektivní pro systémy s více rovnicemi, protože existují další konkrétní metody, jak je vyřešit.
Metoda výměny
Metoda nahrazení se skládá z izolovat jednu z neznámých v jedné z rovnic a proveďte substituci v jiné rovnici.
Příklad:
1. krok: izolovat jednu z neznámých.
Říkáme I první rovnice a II druhá rovnice. Analyzujme ty dva vyberte neznámé, které je nejjednodušší izolovat. Všimněte si, že v rovnice I → x + 2y = 5, x nemá žádný koeficient, což usnadňuje jeho izolaci, takže přepíšeme rovnici, která se mi líbí:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2r
2. krok: nahradit I v II.
Nyní, když máme rovnici I s x samotným, můžeme v rovnici II nahradit x 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
Výměna x o 5 - 2y:
3 (5 - 2r) - 5y = 4
Nyní, když má rovnice pouze jednu neznámou, je možné ji vyřešit, abychom našli hodnotu y.
Známe-li hodnotu y, najdeme hodnotu x nahrazením hodnoty y v rovnici I.
I → x = 5 - 2r
x = 5 - 2,1
x = 5-2
x = 3
Řešení systému je tedy S = {3,1}.
Srovnávací metoda
Srovnávací metoda se skládá z izolovat neznámý ve dvou rovnicích a vyrovnat tyto hodnoty.
Příklad:
1. krok: nechť jsem první rovnicí a II druhou, izolovme jednu z neznámých v I a II. Rozhodneme-li se izolovat neznámé x, musíme:
2. krok: vyrovnat dvě nové rovnice, protože x = x.
3. krok: v jedné z rovnic nahraďte hodnotu y číslem -2.
x = -4 - 3 r
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Řešení tohoto systému je tedy množina S = {2, -2}.
Podívejte se také: Jaké jsou rozdíly mezi funkcí a rovnicí?
metoda přidání
Metoda sčítání spočívá v provedení násobení všech členů jedné z rovnic takovým způsobem, že když přidáním rovnice I k rovnici II je jedna z jejích neznámých rovna nule.
Příklad:
1. krok: vynásobte jednu z rovnic tak, aby byly koeficienty opačné.
Všimněte si, že když vynásobíme rovnici II 2, máme 4y v rovnici II a -4y v rovnici I, a to přidáme I + II, dostaneme 0y, takže vynásobme všechny členy v rovnici II 2 tak, že toto přihodit se.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2. krok: provést součet I + 2 · II.
3. krok: nahraďte hodnotu x = 3 do jedné z rovnic.
Lineární systémy se třemi rovnicemi 1. stupně a třemi neznámými
Když má systém tři neznámé, přijmeme další metody řešení. Všechny tyto metody vztahují koeficienty k maticím a nejpoužívanějšími metodami jsou Crammerovo pravidlo nebo změna měřítka. Pro rozlišení v obou metodách je nutné maticové vyjádření systému, dokonce i systém 2x2 lze reprezentovat pomocí matice. Existují dvě možná znázornění, úplná matice a neúplná matice:
Příklad:
Systém
Může být reprezentován plná matice
A pro neúplná matice
Crammerovo pravidlo
Chcete-li najít řešení pro systém 3x3, s neznámými x, yaz, pomocí Crammerovo pravidlo, je nutné vypočítat determinant neúplné matice a její variace. Musíme tedy:
D → determinant neúplné matice systému.
DX → determinant neúplné matice systému, který nahradí sloupec x sloupcem nezávislých výrazů.
Dy → determinant neúplné matice systému, který nahradí sloupec y sloupcem nezávislých výrazů.
Dz → determinant neúplné matice systému, nahrazující sloupec z sloupcem nezávislých výrazů.
Abychom tedy našli hodnotu vašich neznámých, musíme nejprve vypočítat určující D, DX, Dy spojené se systémem.
Příklad:
1. krok: vypočítat D.
2. krok: vypočítat DX.
3. krok: pak můžeme najít hodnotu x, protože:
4. krok: vypočítat Dy.
5. krok: pak můžeme vypočítat hodnotu y:
6. krok: Nyní, když známe hodnotu xay, můžeme v obou řádcích najít hodnotu z dosazením hodnoty xay a izolací z. Další možností je výpočet D.z.
Dosazení x = 0 a y = 2 v první rovnici:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Systémovým řešením je tedy výběrové řízení (0,2, -1).
Také přístup: Řešení problémů pomocí rovnicových systémů
škálování
Další metodou řešení lineárních systémů je škálování, ve kterém používáme pouze úplnou matici a operace mezi řádky, abychom izolovali jejich neznámé. Pojďme škálovat systém níže.
1. krok: napište úplnou matici, která představuje systém.
být L1, L.2 a L.3 respektive řádky 1, 2 a 3 matice, budeme provádět operace mezi L1 a L.2 a L.1 a L.3, takže výsledek činí podmínky v prvním sloupci druhého a třetího řádku rovné nule.
Analyzujeme druhý řádek matice, nahraďme jej výsledkem L2 → -2 · L1 + L2, abychom vynulovali člen a21.
The21 = -2 · 1 + 2 = 0
The22 = -2 · 2 + 1 = -3
The23 = -2 · (-3) + 1 = 7
The24 =-2 · 10 + 3 = -17
Takže L2 bude 0 -3 7 -17.
Analyzujeme třetí řádek matice, nahraďme jej výsledkem L3 → 3L1 + L2, za účelem resetování termínu na31.
The31 = 3 · 1 – 3 = 0
The32 = 3 · 2 + 2 = 8
The33 = 3 · (-3) +1 = -8
The34 = 3 · 10 – 6 = 24
Takže L3 bude 0 8 -8 24.
Všimněte si, že všechny jsou dělitelné 8, takže čára L.3 zjednodušíme to, rozdělíme to na 8.
L3 → L3 : 8 bude: 0 1-1 3.
Nová matice zmenšené rovnice tedy bude:
Nyní je cílem resetovat sloupec y ve třetím řádku, budeme provádět operace mezi L2 a L.3s cílem resetovat druhý sloupec jednoho z nich.
Nahradíme L3 L3 → L2 + 3 l3.
The31 = 0 + 3 · 0 = 0
The32 = -3 + 3 · 1 = 0
The33 = 7 + 3 · (-1) = 4
The34 = -17 + 3 · 3 = -8
Takže L3 bude: 0 0 4 -8.
Nová škálovaná matice bude:
Když nyní tuto matici reprezentujeme jako systém a přidáme do sloupců x, yaz, najdeme následující:
Poté můžeme najít hodnotu každé z neznámých. Při analýze rovnice III musíme:
Pokud z = -2, dosadíme hodnotu z do druhé rovnice:
Nakonec v první rovnici dosadíme hodnotu yaz, abychom našli hodnotu x.
Podívejte se také: Systém nerovností 1. stupně - jak jej vyřešit?
klasifikace lineárního systému
Lineární systém je sada lineárních rovnic, které mohou mít několik neznámých a několik rovnic. Existuje několik metod, jak to vyřešit, bez ohledu na počet rovnic. tam jsou tři hodnocení pro lineární systém.
- Určený možný systém (SPD): když máte jediné řešení.
- Neurčený možný systém (SPI): když má nekonečné řešení.
- nemožný systém(SI): když neexistuje řešení.
Cvičení vyřešena
Otázka 1 (IFG 2019) Zvažte součet rozměrů základny a výšky vzhledem k této základně trojúhelníku rovnou 168 cm a rozdílu rovnému 24 cm. Je správné konstatovat, že rozměry základny a výšky vzhledem k této základní míře, respektive:
a) 72 cm a 96 cm
b) 144 cm a 24 cm
c) 96 cm a 72 cm
d) 24 cm a 144 cm
Řešení
Alternativa C.
Nechť h → výška ab → základna, pak máme následující systém:
Způsobem přidání musíme:
Abychom našli hodnotu h, dosadíme b = 96 cm do první rovnice:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
v = 72 cm
otázka 2 Neúplná matice, která představuje následující lineární systém, je:
Řešení
Alternativa C.
Neúplná matice je ta, která má koeficienty x, yaz, takže to bude matice 3x3. Při analýze alternativ, která obsahuje matici 3x3 se správnými znaky, je písmeno C.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
