Věta o polynomiálním rozkladu

Základní věta o algebře pro polynomiální rovnice zaručuje to "polynom každého stupně n≥ 1 má alespoň jeden komplexní kořen ". Důkazem této věty byl matematik Friedrich Gauss v roce 1799. Z toho můžeme demonstrovat věta o polynomiálním rozkladu, což zaručuje, že jakýkoli polynom lze rozložit na faktory prvního stupně. Vezměte následující polynom p (x) stupně n ≥ 1 a_Ne ≠ 0:

p (x) = a_Ne X^Ne +_n-1 X^n-1 +... +₁X¹ +₀

Prostřednictvím základní věty o algebře můžeme konstatovat, že tento polynom má alespoň jeden komplexní kořen. u₁, takový, že p (u₁) = 0. Ó D'Alembertova věta do dělení polynomů uvádí, že pokud p (u₁) = 0, pak p (x) je dělitelné (x - u₁), což má za následek podíl co₁(X), což je polynom stupně (n - 1), což nás vede k tomu, abychom řekli:

p (x) = (x - u₁). co₁(X)

Z této rovnice je nutné zdůraznit dvě možnosti:

Pokud u = 1 a co₁(X) je polynom stupně (n - 1), pak co₁(X) má titul 0. Jako dominantní koeficient p (x) é The_Ne, co₁(X) je konstantní polynom typu co₁(X)=The_Ne. Takže máme:

p (x) = (x - u₁). co₁(X)
(x) = (x - u₁). The_Ne
p (x) = a_Ne . (x - u₁)

Ale pokud u ≥ 2, potom polynom co₁ má titul n - 1 ≥ 1 a základní věta o algebře platí. Můžeme říci, že polynom co₁ má alespoň jeden kořen Ne₂, což nás vede k tomu, abychom to řekli co₁ lze napsat jako:

co₁(x) = (x - u₂). co₂(X)

Ale jak p (x) = (x - u₁). co₁(X), můžeme to přepsat jako:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). co₂(X)

Postupným opakováním tohoto procesu budeme mít:

p (x) = a_Ne. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_Ne)

Můžeme tedy dojít k závěru, že každý polynomiální nebo polynomiální rovnice p (x) = 0 stupně n≥ 1 vlastní přesně Ne složité kořeny.​

Příklad: Být p (x) polynom stupně 5, takže jeho kořeny jsou – 1, 2, 3, – 2 a 4. Napište tento polynom rozložený na faktory 1. stupně s ohledem na dominantní koeficient rovná 1. Musí být napsáno v rozšířené formě:

-li – 1, 2, 3, – 2 a 4 jsou kořeny polynomu, takže součin rozdílů X pro každý z těchto kořenů výsledky v p (x):

p (x) = a_Ne. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Pokud dominantní koeficient The_Ne = 1, my máme:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Autor: Amanda Gonçalves
Vystudoval matematiku

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm