Násobení matic: jak počítat, příklady

THE mnásobení matic se děje pomocí algoritmu, který vyžaduje velkou pozornost. Aby existoval součin mezi maticí A a maticí B, je nutné, aby počet sloupce dává První sídlo společnosti, v případě A, se rovná počtu řádky dává pondělí sídlo společnosti, v případě B.

Z násobení mezi maticemi je možné pochopit, co je matice identity, což je neutrální prvek násobení matice a jaká je inverzní matice matice M, což je matice M^-1 jehož produkt M od M^-1 se rovná matici identity. Je také možné vynásobit matici reálným číslem - v tomto případě vynásobíme každou z podmínek sídlo společnosti podle čísla.

Přečtěte si také: Co je to trojúhelníková matice?

podmínka existence

Násobení mezi maticemi je proces, který vyžaduje velkou pozornost.

Pro vynásobení dvou matic je nejprve nutné zkontrolovat podmínku existence. Aby produkt existoval, počet sloupců v první matici se musí rovnat počtu řádků v druhé matici. Výsledkem násobení je dále matice, která má stejný počet řádků jako první matice a stejný počet sloupců jako druhá matice.

Například produkt AB mezi maticemi A_3x2 a B_2x5 existuje, protože počet sloupců v A (2 sloupce) se rovná počtu řádků v B (2 řádky) a výsledkem je matice AB_3x5. Již produkt mezi maticemi C._3x5 a matice D_2x5 neexistuje, protože C má 5 sloupců a D má 3 řádky.

Jak vypočítat součin mezi dvěma maticemi?

Chcete-li provést násobení matice, je nutné dodržet některé kroky. Uděláme příklad násobení algebraické matice A_2x3 maticí B_3x2

Víme, že produkt existuje, protože matice A má 3 sloupce a matice B 3 řádky. Budeme nazývat C výsledkem násobení A · B. Kromě toho také víme, že výsledkem je matice C._2x2, protože matice A má 2 řádky a matice B, 2 sloupce.

Pro výpočet součinu matice A_2x3 a matice B_3X2, pojďme udělat několik kroků.

Nejprve najdeme každý z členů matice C_2x2:

Abychom našli podmínky, pojďme vždy vztahujte řádky matice A ke sloupcům matice B:

C₁₁ → 1. řádek A. a 1. sloupec B
C₁₂ → 1. řádek A. a 2. sloupec B
C₂₁ → 2. řádek A. a 1. sloupec B
C₂₂ → 2. řádek A. a 2. sloupec B

Každý z pojmů vypočítáme vynásobením pojmů v řádku A a pojmů ve sloupci B. Nyní musíme tyto produkty přidat, počínaje C_11:

1. řádek A.
1. sloupec B

C₁₁ = The₁₁· B₁₁ + The₁₂· B₂₁+ The₁₃· B₃₁

výpočet C₁₂:

1. řádek A.
2. sloupec B

C₁₂ = The₁₁· B₁₂ + The₁₂· B₂₂+The₁₃· B₃₂

výpočet C₂₁:

2. řádek A.
1. sloupec B

C₂₁ = The₂₁· B₁₁ + The₂₂· B₂₁+The₂₃· B₃₁

výpočet termínu C₂₂:

2. řádek A.
2. sloupec B

C₂₂ = The₂₁· B₁₂ + The₂₂· B₂₂+The₂₃· B₃₂

Matice C je tedy tvořena termíny:

Příklad:

Pojďme vypočítat násobení mezi maticemi A a B.

Víme to v A._2x2 a B_2x3, počet sloupců v prvním se rovná počtu řádků v druhém, takže produkt existuje. Takže uděláme C = A · B a víme, že C_2x3.

Násobením musíme:

Podívejte se také: Co je to transponovaná matice?

matice identity

V násobení mezi maticemi existují některé speciální případy, například matice identity, která je neutrálním prvkem násobení mezi maticemi.. Matice identity je čtvercová matice, to znamená, že počet řádků se vždy rovná počtu sloupců. Kromě toho se pouze podmínky úhlopříčky v ní rovnají 1 a ostatní členy se rovnají nule. Když vynásobíme matici M maticí identity I_Ne, Musíme:

M · I_Ne = M.

Matice identity od objednávky 2 do objednávky 5

Příklad:

Co je inverzní matice?

Vzhledem k matici M ji známe jako inverzní matici M. matice M^-1jehož produkt M · M^-1 se rovná à matice identity I._Ne. Aby matice měla inverzi, musí být čtvercová a její určující musí se lišit od 0. Podívejme se na příklady matic, které jsou inverzní:

Při výpočtu produktu A · B musíme:

Všimněte si, že produkt mezi A a B generovanou maticí I₂. Když k tomu dojde, řekneme, že B je inverzní matice A. Chcete-li se dozvědět více o tomto typu matice, přečtěte si: Inverzní matice.

Násobení matic reálným číslem

Na rozdíl od násobení mezi maticemi existuje také násobení matic jednou reálné číslo, což je mnohem jednodušší operace k nalezení řešení.

Vzhledem k tomu, matice M, vynásobení matice reálným číslem k se rovná matici kM. Najít tuto matici kM, dost vynásobte všechny členy v matici konstantou k.

Příklad:

-li k = 5 a vzhledem k níže uvedené matici M najděte matici 5M.

Násobení:

vyřešená cvičení

Otázka 1 - (Unitau) Vzhledem k maticím A a B,

hodnota prvku c₁₁ matice C = AB je:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Řešení

Alternativa A.

Jak chceme termín c₁₁, vynásobme pojmy v prvním řádku a A pojmy v prvním sloupci B.

výpočet c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Otázka 2 - (Enem 2012) Student zaregistroval dvouměsíční známky některých svých předmětů do tabulky. Poznamenal, že číselné položky v tabulce tvoří matici 4 × 4 a že může vypočítat roční průměry pro tyto disciplíny pomocí součinu matic. Všechny testy měly stejnou váhu a tabulka, kterou dostal, je uvedena níže.

Pro získání těchto průměrů vynásobil matici získanou z tabulky maticí:

Řešení

Alternativa E.

Průměr není nic jiného než součet prvků dělený počtem prvků. Všimněte si, že v každém řádku jsou 4 noty, takže průměr by byl součtem těchto not děleno 4. Dělení 4 je stejné jako vynásobení zlomek ¼. Matice známek je také matice 4x4, takže musíme znásobit matici 4x1, to znamená, že má 4 řádky a 1 sloupec, abychom našli matici, která má průměr známek.

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm