THE sídlo společnosti běžně se používá pro organizaci tabulkových dat pro usnadnění řešení problémů. Informace o matici, ať už číselné, nebo ne, jsou uspořádány úhledně v řádcích a sloupcích.
Sada matic vybavených operacemi přidání, odčítání a násobení a prvky, jako neutrální a inverzní prvek, tvoří matematickou strukturu, která umožňuje jeho aplikaci v různých oblastech této velké oblasti znalostí.
Podívejte se taky: Vztah mezi maticí a lineárními systémy
Maticová reprezentace
Před zahájením studia matic je nutné stanovit některé notace týkající se jejich zobrazení. Na matice jsou vždy reprezentovány velkými písmeny. (A, B, C…), které jsou doprovázeny indexy, ve kterých první číslo označuje počet řádků a druhé číslo sloupců.
THE počet řádků (vodorovné řádky) a sloupce (svislé řádky) matice určuje její objednat. Matice A má řád m na n. Informace obsažené v poli se nazývají elementy a jsou uspořádány v závorkách, hranatých závorkách nebo dvou svislých pruzích, viz příklady:
Matice A má dva řádky a tři sloupce, takže její pořadí je dva po třech → A2x3.
Matice B má jeden řádek a čtyři sloupce, takže její pořadí je jeden ke čtyřem, takže se nazývá řádková matice → B1x4.
Matice C má tři řádky a jeden sloupec, a tak se nazývá sloupcová matice a jeho pořadí je tři po druhém → C3x1.
Můžeme obecně představovat prvky pole, to znamená, že můžeme tento prvek zapsat pomocí matematické reprezentace. Óobecný prvek bude představován malými písmeny (a, b, c…) a stejně jako v reprezentaci polí má také index, který označuje jeho umístění. První číslo označuje řádek, ve kterém je prvek, a druhé číslo označuje sloupec, ve kterém je umístěn.
Zvažte následující matici A, uvedeme její prvky.
Pozorováním prvního prvku, který je umístěn v prvním řádku a prvním sloupci, tj. V prvním řádku a prvním sloupci, máme číslo 4. Abychom vám psaní usnadnili, označíme jej:
The11 → řádek jeden prvek, sloupec jeden
Takže máme následující prvky matice A2x3:
The11 = 4
The12 =16
The13 = 25
The21 = 81
The22 = 100
The23 = 9
Obecně můžeme pole psát jako funkci jeho obecných prvků, to je obecná matice.
Matice m řádků an sloupců je reprezentována:
Příklad
Určete matici A = [aij ]2x2, který má následující školicí zákonij = j2 - 2i. Z dat výpisu máme, že matice A je řádu dva po dvou, to znamená, že má dva řádky a dva sloupce, proto:
Kromě toho byl dán zákon o formování matice, to znamená, že každý prvek je spokojen se vztahem kij = j2 - 2i. Dosazením hodnot i a j ve vzorci máme:
The11 = (1)2 - 2(1) = -1
The12 = (2)2 - 2(1) = 2
The21 = (1)2 - 2(2) = -3
The22 = (2)2 - 2(2) = 0
Proto je matice A:
Typy polí
Některé matice si zaslouží zvláštní pozornost, viz nyní tyto typy polí s příklady.
čtvercová matice
Matice je čtvercová, když počet řádků se rovná počtu sloupců. Matici, která má n řádků a n sloupců, reprezentujeme pomocí ANe (čte: čtvercová matice řádu n).
V čtvercových maticích máme dva velmi důležité prvky, úhlopříčky: hlavní a vedlejší. Hlavní úhlopříčku tvoří prvky, které mají stejné indexy, to znamená, že je to každý prvek aij s i = j. Sekundární úhlopříčka je tvořena prvky aij s i + j = n +1, kde n je maticové pořadí.
matice identity
Matice identity je čtvercová matice, která má Všechnovyprvky hlavní úhlopříčky rovné 1 a ostatní prvky rovné 0, jeho formační zákon je:
Tuto matici označíme I, kde n je řád čtvercové matice, viz několik příkladů:
jednotková matice
Je to čtvercová matice řádu jedna, to znamená, že má řádek a sloupec, a proto jen jeden prvek.
A = [-1]1x1, B = já1 = (1)1x1 a C = || 5 ||1x1
Jedná se o příklady jednotkových matic s důrazem na matici B, což je a matice identity jednotky.
nulová matice
Říká se, že pole má hodnotu null, pokud jsou všechny jeho prvky rovny nule. Reprezentujeme nulovou matici řádu m o n Omxn.
Matice O je nulová řádu 4.
opačná matice
Uvažujme dvě matice stejného řádu: A = [aij]mxn a B = [bij]mxn. Tyto matice budou nazývány opačně, pokud a pouze v případě, žeij = -bij. Tím pádem, odpovídající prvky musí být opačná čísla.
Můžeme reprezentovat matici B = -A.
transponovaná matice
Dvě matice A = [aij]mxn a B = [bij]nxm oni jsou provedeny pokud, a pouze pokud,ij = bji , to znamená, že vzhledem k matici A, k nalezení její transpozice, vezměte řádky jako sloupce.
Transpozice matice A je označena AT. Viz příklad:
Vidět víc: Inverzní matice: co to je a jak ověřit
Maticové operace
Sada matic má operace avelmi dobře definované sčítání a násobení, to znamená, že kdykoli provozujeme dvě nebo více matic, výsledek operace stále patří do sady matic. A co operace odčítání? Tuto operaci chápeme jako inverzní sčítání (opačnou matici), která je také velmi dobře definována.
Před definováním operací pochopme myšlenky odpovídající prvek a rovnost matic. Odpovídající prvky jsou ty, které zaujímají stejnou pozici v různých maticích, to znamená, že jsou umístěny ve stejné řadě a sloupci. Je zřejmé, že pole musí být ve stejném pořadí, aby existovaly odpovídající prvky. Dívej se:
Prvky 14 a -14 jsou odpovídající prvky opačných matic A a B, protože zaujímají stejnou pozici (stejný řádek a sloupec).
Dvě matice budou považovány za stejné právě tehdy, pokud jsou odpovídající prvky stejné. Vzhledem k maticím A = [aij]mxn a B = [bij]mxn, budou stejné, pouze a pouze v případě, žeij = bij pro všechny i j.
Příklad
S vědomím, že matice A a B jsou stejné, určete hodnoty x at.
Protože matice A a B jsou stejné, pak musí být odpovídající prvky stejné, proto:
x = -1 at = 1
Sčítání a odčítání matic
Provoz společnosti sčítání a odčítání mezi maticemi jsou docela intuitivní, ale nejprve musí být splněna podmínka. K provedení těchto operací je nejprve nutné ověřit, že pořadí polí je stejné.
Jakmile je tato podmínka ověřena, sčítání a odčítání matice probíhá přidáním nebo odečtením odpovídajících prvků matic. Uvažujme matice A = [aij]mxn a B = [bij]mxn, pak:
A + B = [aij + bij] mxn
A - B = [aij - Bij] mxn
Příklad
Zvažte matice A a B níže, určete A + B a A - B.
Přečtěte si také: Operace celého čísla
Násobení reálného čísla maticí
Násobení reálného čísla v matici (známé také jako násobení matice) skalárem je dáno vynásobením každého prvku matice skalárem.
Nechť A = [aij]mxn matice at skutečné číslo, takže:
t · A = [tij]mxn
Viz příklad:
Násobení matic
Násobení matic není tak triviální jako jejich sčítání a odčítání. Před provedením násobení musí být také splněna podmínka týkající se pořadí matic. Zvažte matice Amxn a Bnxr.
Chcete-li provést násobení, počet sloupců v první matici se musí rovnat počtu řádků ve druhé. Produktová matice (která pochází z násobení) má pořadí dané počtem řádků v prvním a počtem sloupců ve druhém.
Abychom provedli násobení mezi maticemi A a B, musíme vynásobit každý z řádků všemi sloupci následujícím způsobem: první prvek A se vynásobí prvním prvkem B a poté se přidá k druhému prvku A a vynásobí se druhým prvkem B, a tak postupně. Viz příklad:
Přečtěte si také: Laplaceova věta: víte, jak a kdy použít
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - (U. A. Londrina - PR) Nechť matice A a B jsou 3 x 4 a p x q, a pokud má matice A · B řád 3 x 5, pak platí, že:
a) p = 5 a q = 5
b) p = 4 a q = 5
c) p = 3 a q = 5
d) p = 3 a q = 4
e) p = 3 a q = 3
Řešení
Máme prohlášení, že:
THE3x4 · Bpxq = C.3x5
Od podmínky pro vynásobení dvou matic máme, že produkt existuje pouze v případě, že počet sloupců v prvním je roven počtu řádků v druhém, takže p = 4. A také víme, že matice produktu je dána počtem řádků v prvním s počtem sloupců ve druhém, takže q = 5.
Proto p = 4 a q = 5.
A: Alternativa b
Otázka 2 - (Vunesp) Určete hodnoty x, yaz z následující rovnosti zahrnující 2 x 2 skutečné matice.
Řešení
Pojďme provést operace mezi poli a poté rovnost mezi nimi.
Abychom určili hodnotu x, yaz, vyřešíme lineární systém. Zpočátku přidejme rovnice (1) a (2).
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2
Dosazením hodnoty x nalezené v rovnici (3) máme:
22 = 2z
2z = 4
z = 2
A konečně, dosazením hodnot x a z nalezených v rovnici (1) nebo (2) máme:
x + y - z = 0
2 + y - 2 = 0
y = 0
Proto je řešení problému dáno S = {(2, 0, 2)}.
Robson Luiz
Učitel matematiky