Koncepty násobky a děliče přirozeného čísla se rozšíří na množinu celá čísla. Když se zabýváme tématem násobků a dělitelů, máme na mysli číselné množiny které splňují určité podmínky. Násobky se nacházejí po vynásobení celými čísly a děliteli jsou čísla dělitelná určitým číslem.
Z tohoto důvodu najdeme podmnožiny celých čísel, protože prvky množin násobků a dělitelů jsou prvky množiny celých čísel. Abychom pochopili, co jsou prvočísla, je nutné porozumět pojmu dělitele.
násobky čísla
být The a B dvě známá celá čísla, číslo The je několik B právě když existuje celé číslo k takhle The = B · K. To znamená, že sada násobků v These získá vynásobenímThepro všechna celá čísla, výsledky těchto násobení jsou násobky The.
Uveďme například prvních 12 násobků 2. K tomu musíme vynásobit číslo 2 prvních 12 celých čísel, například takto:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Násobky 2 jsou tedy:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Všimněte si, že jsme uvedli pouze prvních 12 čísel, ale mohli jsme uvést tolik, kolik je potřeba, protože seznam násobků je dán vynásobením čísla všemi celými čísly. Tím pádem, množina násobků je nekonečná.
Abychom zkontrolovali, zda je číslo násobkem jiného, musíme najít celé číslo, aby násobení mezi nimi mělo za následek první číslo. Podívejte se na příklady:
→ Číslo 49 je násobkem 7, protože existuje celé číslo, které vynásobené 7 vede k 49.
49 = 7 · 7
→ Číslo 324 je násobkem 3, protože existuje celé číslo, které vynásobené 3 vede k 324.
324 = 3 · 108
→ Číslo 523 Ne je násobkem 2, protože neexistuje celé číslo což, vynásobeno 2, vede k 523.
523 = 2 · ?
Přečtěte si také: Vlastnosti násobení, které usnadňují mentální výpočet
Násobky 4
Jak jsme viděli, abychom určili násobky čísla 4, musíme vynásobit číslo 4 celými čísly. Tím pádem:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Násobky 4 jsou tedy:
M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Násobky 5
Analogicky máme násobky 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Násobky 5 jsou tedy: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
oddělovače jednoho čísla
být The a B dvě známá celá čísla, řekněme B je rozdělovač The pokud číslo B je několik The, toto je divize mezi B a The je přesný (musí odejít zbytek 0).
Podívejte se na několik příkladů:
→ 22 je násobkem 2, takže 2 je dělitelem 22.
→ 63 je násobkem 3, takže 3 je dělitelem 63.
→ 121 není násobkem 10, takže 10 není dělitelem 121.
Abychom vypsali dělitele čísla, musíme hledat čísla, která ho dělí. Dívej se:
- Seznam rozdělovačů 2, 3 a 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Všimněte si, že čísla v seznamu dělitelů jsou vždy dělitelná dotyčným číslem a tím nejvyšší hodnota, která se objeví v tomto seznamu, je samotné číslo., protože tím nebude dělitelné žádné číslo větší než to.
Například v dělitelích 30 je největší hodnota v tomto seznamu samotná 30, protože tím nebude dělitelné žádné číslo větší než 30. Tím pádem:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Vědět více: Zábavná fakta o dělení přirozených čísel
Vlastnictví násobků a dělitelů
Tyto vlastnosti souvisí s divize mezi dvěma celými čísly. Všimněte si, že když je celé číslo násobkem jiného, je také dělitelné tímto jiným číslem.
Zvažte algoritmus dělení abychom mohli lépe porozumět vlastnostem.
N = d · q + r, kde q a r jsou celá čísla.
Pamatuj si to N je nazýván dividendy;d, pro dělič;q, pro kvocient; a r, mimochodem.
→ Vlastnost 1: Rozdíl mezi dividendou a zbytkem (N - r) je násobkem dělitele, nebo číslo d je dělitelem (N - r).
→ Vlastnost 2: (N - r + d) je násobkem d, to znamená, že číslo d je dělitelem (N - r + d).
Viz příklad:
- Při provádění dělení 525 na 8 získáme kvocient q = 65 a zbytek r = 5. Máme tedy dividendu N = 525 a dělitele d = 8. Podívejte se, že vlastnosti jsou splněny, protože (525 - 5 + 8) = 528 je dělitelné 8 a:
528 = 8 · 66
prvočísla
Vy prvočísla jsou ti, kteří mít jako dělitele ve svém seznamu pouze číslo 1 a samotné číslo. Chcete-li zkontrolovat, zda je číslo prvočíslo, nebo ne, jednou z nejtriviálnějších metod je seznam dělitelů tohoto čísla. Pokud se objeví čísla větší než 1 a dotyčné číslo, není to prvočíslo.
→ Zkontrolujte, která jsou prvočísla mezi 2 a 20. Za tímto účelem vyjmenujme dělitele všech těchto čísel mezi 2 a 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Prvočísla mezi 2 a 20 jsou tedy:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 a 19}
Všimněte si, že sada pochází z některých z prvních prvočísel, tento seznam pokračuje. Všimněte si, že čím je číslo větší, tím těžší je zjistit, zda je prvočíslo nebo ne.
Přečtěte si více: Iracionální čísla: ta, která nelze vyjádřit ve zlomcích
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - (UMC-SP) Počet prvků v sadě prvočíselných dělitelů 60 je:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Řešení
Alternativa A
Nejprve uvedeme seznam dělitelů 60 a poté se podíváme na to, které jsou prvočísla.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Z těchto čísel máme prvočísla:
{2, 3, 5}
Počet dělitelů prvočísel 60 je tedy 3.
otázka 2 - Napište všechna přirozená čísla menší než 100 a násobky 15.
Řešení
Víme, že násobky 15 jsou výsledky vynásobení čísla 15 všemi celými čísly. Jelikož cvičení požaduje napsat přirozená čísla menší než 100 a která jsou násobky 15, musíme vynásobte 15 všemi čísly většími než nula, dokud nenajdeme největší násobek před 100, tím pádem:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Přirozená čísla menší než 100 a násobky 15 jsou tedy:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
otázka 3 - Jaký je největší násobek 5 mezi 100 a 1001?
Řešení
Chcete-li určit největší násobek 5 mezi 100 a 1001, jednoduše identifikujte první násobek 5 zpět dopředu.
1001 není násobkem 5, protože neexistuje celé číslo, které vynásobené 5 má za následek 1001.
1000 je násobkem 5, protože 1000 = 5 · 200.
Proto je největší násobek 5, mezi 100 a 1001, 1000.
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm