Racionalizace jmenovatelů je technika použitá, když a zlomek má iracionální číslo ve jmenovateli a chcete najít druhý zlomek ekvivalentní prvnímu zlomku, ale který nemá iracionální číslo ve jmenovateli. K tomu je nutné provést matematické operace k přepsání zlomku tak, aby ve svém jmenovateli neměl nepřesný kořen.
Přečtěte si také: Jak řešit operace se zlomky?
Jak racionalizovat jmenovatele?
![](/f/0fbeabc3e2af6d9ca71288ae2b99c047.jpg)
Začneme nejjednodušším případem racionalizace jmenovatelů a přejdeme k nejsložitějšímu, ale samotnou technikou je hledat ekvivalentní zlomek vynásobení čitatele a jmenovatele vhodným číslem, které umožňuje vyloučit kořen jmenovatele zlomku. Níže uvidíte, jak to udělat v různých situacích.
Racionalizace, když je ve jmenovateli druhá odmocnina
Existuje několik zlomků, které lze reprezentovat iracionální čísla ve jmenovatelích. Podívejte se na několik příkladů:
![](/f/baf1891fa838cc8b1c8acd7aaf7cc50e.jpg)
Když je jmenovatel zlomku iracionální, použijeme některé techniky k jeho transformaci na racionálního jmenovatele, jako je racionalizace. když je odmocnina
ve jmenovateli můžeme rozdělit na dva případy. První je když má zlomek ve svém radikálu pouze jeden kořen.Příklad 1:
![](/f/e1d1de43df58ce9e0e58077541d230cc.jpg)
Abychom racionalizovali tohoto jmenovatele, najdeme zlomek ekvivalentní tomuto, ale který nemá iracionálního jmenovatele. K tomu pojďme vynásobte čitatele a jmenovatele stejným číslem - v tomto případě to bude přesně jmenovatel zlomku, tj. √3.
![](/f/ff00bab14bd4650b37fae08415e92780.jpg)
Na násobení zlomků, množíme se rovně. Víme, že 1 · √3 = √3. Ve jmenovateli máme √3 · √3 = √9 = 3. S tím přicházíme k následujícímu:
![](/f/e1542ac30caf684e37fe87bfb30880a5.jpg)
Proto máme zastoupení zlomku, jehož jmenovatelem není iracionální číslo.
Příklad 2:
Druhý případ je, když existuje přidání nebo rozdíl mezi nepřesným kořenem.
![](/f/29c5e7a9837a3f6735ecae7ed5cdf3f9.jpg)
Pokud je ve jmenovateli rozdíl nebo přidání výrazů, jedním z nich je nepřesný kořen, vynásobíme čitatele a jmenovatele konjugátem jmenovatele. Konjugát √2 - 1 nazýváme inverzní k druhému číslu, tj. √2 + 1.
![](/f/8eb27d8ac49d87d017144c78eeb068ca.jpg)
Provedením násobení v čitateli musíme:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Jmenovatelem je pozoruhodný produkt známý jako součin součtu rozdílu. Výsledkem je vždy čtverec prvního členu minus čtverec druhého členu.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Abychom racionalizovali jmenovatele této frakce, musíme:
![](/f/2e4d3714cedf12139259766fb9b55f09.jpg)
Podívejte se také: Tři běžné chyby ve zjednodušení algebraických zlomků
Racionalizace, pokud existuje kořen indexu větší než 2
Nyní se podívejme na několik příkladů, kdy je ve jmenovateli kořen indexů větších než 2.
![](/f/5a3f3107f5071edd3b3e9630c0900873.jpg)
Jelikož cílem je eliminovat radikál, vynásobme jmenovatele, aby bylo možné zrušit kořen jmenovatele.
Příklad 1:
![](/f/c323f24c496e612fb4a5a698fd8b3036.jpg)
V tomto případě pojďme vyloučit exponent radikálu vynásobte kubickou odmocninou 2² v čitateli a jmenovateli, takže se objeví uvnitř radikálu 2³, a je tedy možné zrušit kubický kořen.
![](/f/84c0bbe83c8a6dcfbf945d8b97ed46d6.jpg)
Provedením násobení musíme:
![](/f/4929d9986524fcc38e488616beae960d.jpg)
Příklad 2:
![](/f/ce06a5ea095d25137616a33b2792dc2b.jpg)
Pomocí stejného uvažování vynásobme jmenovatele a čitatele číslem, které způsobí potence od jmenovatele k indexu, tedy pojďme vynásobte pátým kořenem ze 3 krychlí abyste mohli zrušit jmenovatele.
![](/f/3b10e95efb34cc72404bdb3033c6940e.jpg)
Přečtěte si také: Jak zjednodušit algebraické zlomky?
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - Racionalizace jmenovatele zlomku níže zjistíme:
![](/f/47a193702a69a1f7d0b9c04d8ce11cd6.jpg)
A) 1 + √3.
B) 2 (1 + √3).
C) - 2 (1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Řešení
Alternativa C.
![](/f/67e8b7121c3b148f0175abcf7b629f33.jpg)
Otázka 2 - (IFCE 2017 - upraveno) Přibližně hodnoty √5 a √3 na druhé desetinné místo získáme 2,23, respektive 1,73. Hodnota následujícího číselného výrazu s přesností na druhé desetinné místo je přibližně:
![](/f/34a28d0514e473079b99e39aaf5a8451.jpg)
A) 1,98.
B) 0,96.
C) 3,96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Řešení
Alternativa E.
![](/f/8b86d6bbe14e249a175b2a54033e1ed4.jpg)
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm