THE finanční matematika je jednou z oblastí matematiky odpovědných za studium jevy související s finančním světem. Kromě toho je velmi důležité studovat jejich koncepty, protože v našem každodenním životě jsou stále častěji více dárků, například když při nákupu v hotovosti dostáváme slevu nebo při nákupu něco navíc splátky.
Studium finanční matematiky vyžaduje předchozí znalost procento, uvidíme, že všechny koncepty jsou založeny na tomto tématu.
Přečtěte si také:Procentní výpočet s pravidlem tří
K čemu je finanční matematika?
Finanční matematika se používá denně, například když budeme nakupovat v hotovosti a prodejce nabídne a sleva 5% z hodnoty produktu, nebo když se rozhodneme koupit produkt na splátky, a v tomto procesu a úroková sazba je fakturována kupujícímu v průběhu času.
Nazývá se příklad důležitosti pochopení pojmů finanční matematiky Limit přečerpání. Při otevření účtu v určité bance se nabízejí „peníze navíc“, například pro případ nouze. Pokud však použijete tento limit nebo jeho část, účtuje se kromě přijatých peněz také poplatek, který se má zaplatit později. Tato sazba se nazývá úrok a díky lepšímu porozumění těmto konceptům můžeme navrhnout lepší strategii pro správu našich financí.
Příklad 1
Člověk potřebuje 100 reaisů, aby dokončil splácení svých měsíčních účtů, ale celý jeho plat již byl utrácen za ostatní účty. Při analýze tato osoba zjistila, že má dvě možnosti.
Možnost 1 - Využijte limit kontokorentu nabízený bankou ve výši 0,2% denně, který má být vyplacen za jeden měsíc.
Možnost 2 - Získejte 100 reali od přítele ve výši 2% za měsíc, které budete platit za dva měsíce.
S využitím pouze znalosti procenta analyzujme, která je nejlepší volba.
analyzovat Možnost 1, Všimněte si, že sazba 0,2% je účtována za den, tj. 0,2% z částky půjčky se přidává každý den, například takto:
Jak musí být půjčka splacena za jeden měsíc a vzhledem k měsíci s 30 dní, výše úroků k zaplacení je:
0,2 ·30
6
Můžeme tedy dojít k závěru, že částka, která má být vyplacena na konci měsíce, je:
100 + 6= 106 reais
100 → Částka půjčená bankou
6 → Úroková částka
Nyní se analyzuje možnost 2, účtovaný poplatek je 2% za měsíc a musí být zaplacen do dvou měsíců, to znamená každý měsíc, k dluhu se připočítají 2% z vypůjčené částky, například takto:
Upozorňujeme, že k částce dluhu je třeba připočítat 2 reaje měsíčně:
2 · 2 = 4
Částka, která má být vyplacena na konci období, je tedy:
100+ 4 = 104 reais
100 → Částka půjčená přítelem
4 → Výše úroku
Můžeme tedy dojít k závěru, že nejlepší možností je vzít peníze s kamarádem. To je jednoduché a důležité aplikace finanční matematikySamozřejmě existují sofistikovanější problémy, nástroje a koncepty, ale stejně jako všechno ostatní v životě, než pochopíte složitou část, je nutné porozumět základům.
Základy finanční matematiky
Hlavní pojmy finanční matematiky zahrnují předchozí znalosti o procentech. Dále uvidíme pojmy jako sčítání, sleva, jednoduchý úrok a složený úrok.
přidání
Myšlenka přidání je spojena s přidat nebo přidat část hodnoty na její původní hodnotu, to znamená, že k sobě přidáme procento určité hodnoty. Viz příklad:
Příklad 2
Cena produktu 35 reais, s nárůstem dolaru, se zvýšila o 30%. Určete novou hodnotu pro tento produkt.
Když často provádíme výpočty související s přidáním, jsou často prováděny nesprávně zápisem:
35 + 30%
Procento představuje část něčeho, takže aby byl tento účet správný, musíme nejprve vypočítat 30% počáteční hodnoty, v tomto případě 35. Tím pádem:
35 + 30% z 35
Nejprve vyřešíme procento a poté přidáme hodnoty dohromady, budeme muset:
Proto s přidáním bude hodnota v produktu 45,5 reais (čtyřicet pět reais a padesát centů).
Obecně lze odvodit a vzorec pro přidání. Zvažte hodnotu x a ta se zvyšuje o p%. Podle toho, co jsme právě definovali, můžeme tento dodatek napsat následovně:
x + p% z x
Při vývoji tohoto výrazu budeme muset:
Zopakujme příklad 2 pomocí výše uvedeného vzorce. Všimněte si, že x = 35 a že nárůst byl 30%, tj. P = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Všimněte si, že byla získána stejná hodnota a je možné použít takový vzorec.
Podívejte se také: Nepřímo úměrné veličiny
Sleva
Myšlenka diskontování je podobná myšlence přidávání, jediný rozdíl je v tom, že místo přidávání bychom měli odčítat procento původní částky.
Příklad 3 - Produkt, který stojí 60 real, má při nákupu v hotovosti 30% slevu. Určete novou hodnotu pro tento produkt.
Podobně jako doplnění budeme muset:
Analogicky k doplnění můžeme odvodit a vzorec slevy. Uvažujme hodnotu x, která trpí slevou p%. Podle toho, co jsme definovali, můžeme tento dodatek napsat následovně:
x - p% z x
Při vývoji tohoto výrazu budeme muset:
Zopakujme příklad 3 pomocí výše uvedeného vzorce, všimněte si, že x = 60 a nárůst byl 30%, tj. P = 30%.
x · (1 - 0,01 p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Podívejte se, že pomocí vzorce jsme dostali stejný výsledek, takže ve slevě máme také dvě možnosti, jak to určit.
jednoduchý zájem
Myšlenka za jednoduchý zájem je to také podobný myšlence sčítání, rozdíl mezi nimi je dán obdobím, ve kterém se počítají. Zatímco sazba příplatku je použita jednou, jednoduchá úroková sazba je vypočítané v časovém intervalu. Můžeme vypočítat jednoduchý úrok daného kapitálu C, aplikovaný při dané rychlosti v jednoduchém úrokovém režimu (i), v daném časovém období t, podle vzorec:
J = C · i · t
Částka zaplacená na konci této investice musí být dána použitými penězi plus částka úroku a nazývá se částka (M). Částka je dána výrazem:
M = C + J
M = C + C · i · t
M = C (1 + to)
Jediné znepokojení, které bychom měli mít, pokud jde o problémy spojené s prostým zájmem, je jednotky rychlosti a času, musí být vždy ve stejných jednotkách.
Příklad 4
Marta chce investovat 6000 R $ do společnosti, která slibuje generování zisků 20% ročně v režimu jednoduchého úroku. Smlouva, kterou uzavřela Marta, stanoví, že peníze může vybrat až po šesti měsících, aby určila, jaká byla návratnost jejích peněz na konci tohoto období.
Při pozorování příkazu zjistíme, že kapitál se rovná 6000, takže máme C = 6000. Úroková sazba je 20% ročně a peníze budou investovány po dobu šesti měsíců. Upozorňujeme, že sazba byla uvedena v roce a čas v měsících a víme, že měrná jednotka pro oba musí být stejná. Najdeme měsíční poplatek, viz:
Víme, že sazba je 20% ročně, protože rok má 12 měsíců, takže měsíční sazba bude:
20%: 12
1,66% za měsíc
0,016 za měsíc
Nahrazením těchto údajů ve vzorci musíme:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96,6
J = 576 reais
Částka, která má být vybrána na konci šesti měsíců, je tedy 576 reais a částka je:
M = 6000 + 576
M = 6576 reais
Přečtěte si více: Pochopení použití a Calkulátor Ffinanční
Složený úrok
V jednoduchém úroku se hodnota úrokové sazby vždy počítá nad počáteční kapitál, což je rozdíl mezi tyto dva systémy (jednoduchý a složený úrok) jsou právě v tomto bodě, tedy způsobem, jakým je sazba vypočteno. Ve složeném úroku úroková sazba se vždy počítá k jistině z předchozího měsíce, díky tomu úrok exponenciálně zvyšuje svoji hodnotu. THE vzorec výpočet úroku v systému amortizace složeného úroku je dán vztahem:
M = C · (1 + i)t
O tom, co M je nahromaděné množství, C je hodnota počátečního kapitálu, i je úroková sazba uvedená v procentech a t je období, ve kterém byl kapitál investován do systému. Stejně jako u jednoduchého úroku musí být ve složeném úrokovém systému sazba a čas ve stejné jednotce.
Příklad 5
Vypočítejte částku, kterou by Marta shromáždila na konci šesti měsíců, a to tak, že svých 6000 reai použije při úrokové sazbě 20% ročně v systému složeného úroku.
(Dáno: 1.20,5 ≈ 1,095)
Všimněte si, že data jsou stejná jako v příkladu 4, takže musíme:
C = 6000
i = 0,2 p.a.
t = 0,5 roku
Nahrazení dat ve vzorci složeného úroku musíme:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1095
M = 6572,67 reais
Proto je částka, kterou má Marta vybrat v systému jednoduchého úroku, 6572, 67 reais. Všimněte si, že částka ve složeném úrokovém systému je větší než v jednoduchém úrokovém systému a k tomu dochází ve všech případech. Chcete-li lépe pochopit, jak se tato sazba počítá, navštivte: Poplatky Cnaprotivy.
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - (FGV - SP) Kapitál aplikovaný na jednoduchý úrok ve výši 2,5% za měsíc se ztrojnásobuje o:
a) 75 měsíců
b) 80 měsíců
c) 85 měsíců
d) 90 měsíců
e) 95 měsíců
Řešení
Alternativa B.
Musíme najít čas, kdy je úrok roven 2C, protože s tímto úrokem spolu s původně použitým kapitálem C budeme mít částku 3C (trojnásobek kapitálu). Tím pádem:
J = 2C; C = C; i = 2,5% za měsíc; t =?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Doba pro ztrojnásobení tohoto kapitálu je tedy 80 měsíců.
Poznámka: 80 měsíců se rovná 6,6 roku.
otázka 2 - U komodity došlo po zvýšení o 24% ke změně ceny na 1041,60 reais. Před přidáním určete množství.
Řešení
Můžeme použít obecný vzorec přidání k určení hodnoty zboží před přidáním.
x · (1 + 0,01 p)
Ve vzorci je hodnota x to, co hledáme, a p je hodnota přidání, a tento výraz nám dává hodnotu produktu po přidání, tedy:
1041,60 = x · (1 + 0,01 p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Podívejme se, že máme rovnici prvního stupně, abychom ji vyřešili, musíme izolovat neznámé x vydělením obou stran rovnosti 1,24, nebo jednoduše projít dělením 1,24. Tím pádem:
Proto byla hodnota zboží před přidáním 840 reais.
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm