A číselná posloupnost je soubor čísel uspořádaných uspořádaným způsobem. Číselnou posloupnost lze sestavit pomocí různých kritérií — například posloupnost sudých čísel nebo posloupnost násobků 3. Když můžeme toto kritérium popsat vzorcem, nazýváme tento vzorec zákonem o vzniku číselné posloupnosti.
Přečtěte si také: Rozdíly mezi číslem, číslicí a číslicí
Shrnutí o číselné posloupnosti
Číselná posloupnost je seznam čísel uspořádaných v pořadí.
Číselná posloupnost může sledovat různá kritéria.
Zákon výskytu číselné posloupnosti je seznam prvků, které v posloupnosti existují.
Sekvence může být klasifikována dvěma způsoby. Jeden bere v úvahu počet prvků a druhý bere v úvahu chování.
Pokud jde o počet prvků, posloupnost může být konečná nebo nekonečná.
Pokud jde o chování, sekvence může být rostoucí, konstantní, klesající nebo oscilující.
Pokud lze číselnou posloupnost popsat rovnicí, je tato rovnice známá jako zákon tvorby číselné posloupnosti.
Co jsou sekvence?
Sekvence jsou sady prvků uspořádaných v určitém pořadí
. V našem každodenním životě můžeme vnímat několik situací, které zahrnují sekvence:Posloupnost měsíců: Leden, únor, březen, duben,..., prosinec.
Posloupnost ročníků prvních 5 světových pohárů 21. století: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Existuje několik dalších možných sekvencí, jako je jmenná sekvence nebo věková sekvence. Kdykoli existuje zavedený řád, existuje posloupnost.
Každý prvek posloupnosti je znám jako člen posloupnosti, takže v posloupnosti je první člen, druhý člen a tak dále. Obvykle, sekvence může být reprezentována:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(na 1\) → první termín.
\(a_2\) → druhý termín.
\(a_3\) → třetí termín.
\(a_n\) → libovolný termín.
Zákon výskytu číselné posloupnosti
Můžeme mít sekvence různých prvků, jako jsou mimo jiné měsíce, jména, dny v týdnu. Aposloupnost je číselná posloupnost, pokud obsahuje čísla. Můžeme vytvořit posloupnost sudých čísel, lichých čísel, prvočísla, násobky 5 atd.
Posloupnost je reprezentována pomocí zákona výskytu. Zákon výskytu není nic jiného než seznam prvků číselné posloupnosti.
Příklady:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → sekvence lichých čísel od 1 do 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → posloupnost čísel, která jsou násobky 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → střídavá sekvence mezi 1 a -1.
Jaká je klasifikace číselné posloupnosti?
Sekvence můžeme klasifikovat dvěma různými způsoby. Jedním z nich je zohlednění počtu prvků a druhým zohlednění chování těchto prvků.
→ Klasifikace číselné posloupnosti podle počtu prvků
Když klasifikujeme posloupnost podle počtu prvků, existují dvě možné klasifikace: konečná posloupnost a nekonečná posloupnost.
◦ Konečná číselná posloupnost
Posloupnost je konečná, pokud má omezený počet prvků.
Příklady:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Nekonečná číselná řada
Posloupnost je nekonečná, pokud má neomezený počet prvků.
Příklady:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Klasifikace číselné posloupnosti podle chování posloupnosti
Dalším způsobem klasifikace je sekvenční chování. V tomto případě může být sekvence rostoucí, konstantní, oscilující nebo klesající.
◦ Zvyšování číselné řady
Posloupnost se zvyšuje, pokud je člen vždy větší než jeho předchůdce.
Příklady:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Konstantní číselná posloupnost
Posloupnost je konstantní, když všechny členy mají stejnou hodnotu.
Příklady:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Sestupná číselná řada
Posloupnost je klesající, pokud jsou členy v posloupnosti vždy menší než jejich předchůdci.
Příklady:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Oscilační číselná řada
Posloupnost osciluje, pokud se střídavě vyskytují členy větší než jejich předchůdci a členy menší než jejich předchůdci.
Příklady:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Zákon vzniku číselné posloupnosti
V některých případech je možné popsat sekvenci pomocí vzorceto však není vždy možné. Například posloupnost prvočísel je dobře definovaná posloupnost, ale nemůžeme ji popsat pomocí vzorce. Se znalostí vzorce jsme byli schopni sestrojit zákon výskytu číselné posloupnosti.
Příklad 1:
Posloupnost sudých čísel větších než nula.
\(a_n=2n\)
Všimněte si, že při výměně n pro jednoho přirozené číslo (1, 2, 3, 4, ...), najdeme sudé číslo:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Máme tedy vzorec, který generuje členy posloupnosti tvořené sudými čísly většími než nula:
(2, 4, 6, 8, ...)
Příklad 2:
Posloupnost přirozených čísel větších než 4.
\(a_n=4+n\)
Při výpočtu členů posloupnosti máme:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Psaní zákona výskytu:
(5, 6, 7, 8,…)
Viz také: Aritmetická progrese — speciální případ numerické posloupnosti
Řešené úlohy na číselnou posloupnost
Otázka 1
Číselná posloupnost má zákon vzniku rovný \(a_n=n^2+1\). Při analýze této posloupnosti můžeme konstatovat, že hodnota 5. členu posloupnosti bude:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Rozlišení:
Alternativa E
Při výpočtu hodnoty 5. členu posloupnosti máme:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
otázka 2
Analyzujte následující číselné sekvence:
já (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Můžeme říci, že sekvence I, II a III jsou klasifikovány jako:
A) rostoucí, oscilující a klesající.
B) klesající, rostoucí a oscilující.
C) oscilační, konstantní a rostoucí.
D) klesající, oscilační a konstantní.
E) oscilační, klesající a rostoucí.
Rozlišení:
Alternativa C
Při analýze sekvencí můžeme konstatovat, že:
já (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Je oscilační, protože existují členy, které jsou větší než jejich předchůdci, a členy, které jsou menší než jejich předchůdci.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Je konstantní, protože členy posloupnosti jsou vždy stejné.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Zvyšuje se, protože termíny jsou vždy větší než jejich předchůdci.
