K operace se sadami jsou to spojení, průnik a rozdíl. Výsledkem každé z těchto operací je nová sada. Pro označení sjednocení mezi množinami používáme symbol ∪; pro průsečík symbol ∩; a pro rozdíl, symbol odčítání\(-\). V případě rozdílu je nutné dodržet pořadí, ve kterém bude operace prováděna. Jinými slovy, pokud jsou A a B množiny, pak se rozdíl mezi A a B liší od rozdílu mezi B a A.
Přečtěte si také: Vennův diagram — geometrická reprezentace množin a operací mezi nimi
Souhrn operací s množinami
Operace s množinami jsou: sjednocení, průnik a rozdíl.
Sjednocení (nebo setkání) množin A a B je množina A ∪ B, tvořená prvky, které patří do A nebo patří do B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ nebo\ x∈B\}\)
Průsečíkem množin A a B je množina A ∩ B, tvořená prvky, které patří do A a patří do B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ a\ x∈B\}\)
Rozdíl mezi množinami A a B je množina A – B, tvořená prvky, které patří do A a nepatří do B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Jestliže U (známá jako vesmírná množina) je množina, která obsahuje všechny množiny v daném kontextu, pak se rozdíl U – A s A ⊂ U nazývá doplněk A. Doplněk A je tvořen prvky, které do A nepatří a je reprezentován
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video lekce operací s množinami
Jaké jsou tři operace s množinami?
Tři operace se soupravami jsou: sjednocení, průnik a rozdíl.
Unie množin
Sjednocení (nebo setkání) množin A a B je množina A ∪ B (čti „Sjednocení B“). Tato sada se skládá ze všech prvků, které patří do sady A nebo patří do množiny B, tj prvky, které patří alespoň do jedné ze sad.
Zastupujeme prvky A ∪ B x, píšeme
\(A∪B=\{x; x∈A\ nebo\ x∈B\}\)
Na obrázku níže je oranžová oblast soubor A ∪B.
Zdá se to těžké? Podívejme se na dva příklady!
Příklad 1:
Jaká je množina A ∪ B, jestliže A = {7, 8} a B = {12, 15}?
Množina A ∪ B je tvořena prvky, které patří do A nebo patří B. Protože prvky 7 a 8 patří do množiny A, pak oba musí patřit do množiny A ∪ B. Dále, protože prvky 12 a 15 patří do množiny B, pak oba musí patřit do množiny A ∪ B.
Proto,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Všimněte si, že každý z prvků A∪B patří buď do množiny A, nebo do množiny B.
Příklad 2:
Uvažujme množiny A = {2, 5, 9} a B = {1, 9}. Jaká je množina A ∪ B?
Protože prvky 2, 5 a 9 patří do množiny A, pak musí všechny patřit do množiny A∪B. Dále, protože prvky 1 a 9 patří do množiny B, pak musí všechny patřit do množiny A ∪ B.
Všimněte si, že jsme 9 zmínili dvakrát, protože tento prvek patří do množiny A a množiny B. Říci, že „množina A ∪ B je tvořena prvky, které patří do A nebo patřit do B“ nevylučuje prvky, které současně patří do množin A a B.
Takže v tomto příkladu máme
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Všimněte si, že prvek 9 zapisujeme pouze jednou.
Průnik množin
Průsečíkem množin A a B je množina A ∩ B (čti „Průnik B“). Tato sada se skládá ze všech prvků, které patří do sady A to je patří do sady B. Jinými slovy, A ∩ B se skládá ze společných prvků množin A a B.
Označení prvků A ∩ B pomocí x, píšeme
\(A∩B=\{x; x∈A\ a\ x∈B\}\)
Na obrázku níže je oranžová oblast soubor A ∩B.
Vyřešme dva příklady o průniku množin!
Příklad 1:
Uvažujme A = {-1, 6, 13} a B = {0, 1, 6, 13}. Jaká je množina A ∩ B?
Množina A ∩ B je tvořena všemi prvky, které do množiny A patří to je patří do sady B. Všimněte si, že prvky 6 a 13 patří současně do množin A a B.
Takhle,
A ∩ B={6, 13}
Příklad 2:
Jaký je průnik mezi množinami A = {0,4} a \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Všimněte si, že mezi sadami A a B není žádný společný prvek. Průnik je tedy množina bez prvků, tedy prázdná množina.
Proto,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Rozdíl mezi sadami
Rozdíl mezi množinami A a B je množina A – B (čti „rozdíl mezi A a B“). Tato sada se skládá z všechny prvky, které patří do množiny A a nepatří do množiny B.
Zobrazení prvků A – B x, píšeme
\(A-B=\{x; x∈A\ a\ x∉B\}\)
Na obrázku níže je oranžová oblast sada A – B.
Pozornost: rozdíl mezi množinami A a B není rozdílem množin B a A, protože B – A je tvořena všemi prvky, které do množiny B patří a do množiny A nepatří.
Zvažte dva níže uvedené příklady o rozdílech mezi sadami.
Příklad 1:
Jestliže A = {-7, 2, 100} a B = {2, 50}, jaká je pak množina A – B? A co sada B – A?
SadaA-B se skládá ze všech prvků, které patří do množiny A to jeNe patří do sady B. Všimněte si, že 2 je jediný prvek v množině A, který také patří do množiny B. 2 tedy do množiny A – B nepatří.
Proto,
A – B = {-7, 100}
Dále je množina B – A tvořena všemi prvky, které do množiny B patří to jeNe patří do sady A. Proto,
B – A = {50}
Příklad 2:
Jaký je rozdíl mezi množinou A = {–4, 0} a množinou B = {–3}?
Všimněte si, že žádný z prvků A nepatří do B. Rozdíl A – B je tedy množinou A samotnou.
\(A – B = \{-4,0\} = A\)
Pozorování: Uvažujme, že U (nazývaná vesmírná množina) je množina, která v dané situaci obsahuje všechny ostatní množiny. Takhle, rozdíl U–A, s A⊂U, je soubor zvaný komplementární k A a vylíčený jako \(PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Na následujícím obrázku je obdélník množinou vesmíru a oranžová oblast množinou vesmíru \(PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM\).
Vědět více: Krok za krokem, jak udělat rozdělení
Řešená cvičení na množinové operace
Otázka 1
Uvažujme množiny A = {–12, –5, 3} a B = {–10, 0, 3, 7} a klasifikujte každý níže uvedený výrok jako T (pravda) nebo F (nepravda).
já A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Správné pořadí shora dolů je
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Rozlišení
já Nepravdivé.
Prvek 0 musí patřit do spojení A a B, protože 0 ∈ B. Tedy A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Skutečný.
III. Skutečný.
Alternativa B.
otázka 2
Uvažujme A = {4, 5}, B = {6,7} a C = {7,8}. Potom množina A ∪ B ∩ C je
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Rozlišení
Všimněte si, že A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Množina A ∪ B ∩ C je tedy průsečíkem mezi A ∪ B = {4, 5, 6, 7} a C = {7,8}. Již brzy,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativa A.
Prameny
LIMA, Elon L.. Kurz analýzy. 7 vyd. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. a kol. Středoškolská matematika. 11. vyd. Sbírka učitelů matematiky. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
