A zakořenění Je to matematická operace, stejně jako sčítání, odčítání, násobení, dělení a potenciace. Stejně jako odčítání je inverzní operací sčítání a dělení je inverzní operací násobení, radiace je inverzní operací potenciace. Takže pro reálné kladné x a y a celé číslo n (větší nebo rovné 2), je-li x zvýšené na n rovno y, můžeme říci, že n-tá odmocnina y se rovná x. V matematickém zápisu: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Přečtěte si také:Potenciace a vyzařování frakcí — jak na to?
Shrnutí o rootování
Rootifikace je matematická operace.
Radiaciace a potenciace jsou inverzní operace, to znamená pro kladné x a y, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Vypočítat n-tou odmocninu čísla y znamená najít číslo x takové, že x zvýšené na n se rovná y.
Čtení kořene závisí na indexu n. Pokud n = 2, nazýváme to odmocnina, a pokud n = 3, nazýváme to odmocnina.
V operacích s radikály používáme termíny se stejným indexem.
Záření má důležité vlastnosti, které usnadňují jeho výpočet.
Video lekce o rootování
Reprezentace kořene
Chcete-li reprezentovat zakořenění, musíme vzít v úvahu tři související prvky: radikand, index a kořen. Symbol \(√\) se nazývá radikál.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
V tomto příkladu y je radikand, n je index a x je kořen. Zní to „n-tá odmocnina z y je x“. Zatímco x a y představují kladná reálná čísla, n představuje celé číslo rovné nebo větší než 2. Je důležité si uvědomit, že pro n = 2 lze index vynechat. tak např. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Radiaci můžeme reprezentovat pomocí radikandu se zlomkovým exponentem. Formálně říkáme, že n-tá odmocnina z \(y^m\) lze zapsat jako y umocněné na zlomkový exponent \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Podívejte se na příklady:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Rozdíly mezi radiací a potenciaci
Potenciace a záření jsou inverzní matematické operace. To znamená, že pokud \(x^n=y\), pak \(\sqrt[n]{y}=x\). Zdá se to těžké? Podívejme se na několik příkladů.
Li \(3^2=9\), pak \(\sqrt[2]{9}=3\).
Li \(2^3=8\), pak \(\sqrt[3]{8}=2\).
Li \(5^4=625\), pak \(\sqrt[4]{625}=5\).
Jak číst kořen?
Chcete-li přečíst kořen, musíme vzít v úvahu index n. Pokud n = 2, říkáme tomu odmocnina. Pokud n = 3, nazýváme to odmocnina. Pro hodnoty n větší, použijeme nomenklaturu pro řadová čísla: čtvrtá odmocnina (pokud n = 4), pátá odmocnina (pokud n = 5) a tak dále. Podívejte se na některé příklady:
\(\sqrt[2]{9}\) - druhá odmocnina z 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – odmocnina z 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – čtvrtá odmocnina z 625.
Jak vypočítat kořen čísla?
Níže uvidíme, jak vypočítat odmocninu kladného reálného čísla. K výpočtu odmocniny čísla, musíme vzít v úvahu související inverzní operaci. To znamená, že pokud hledáme n-tou odmocninu čísla y, musíme hledat číslo x takové, že \(x^n=y\).
V závislosti na hodnotě y (tedy radikandu) může být tento proces jednoduchý nebo pracný. Podívejme se na několik příkladů, jak vypočítat odmocninu čísla.
Příklad 1:
Jaká je druhá odmocnina ze 144?
Rozlišení:
Zavolejte na číslo, které hledáme x, tj. \(\sqrt{144}=x\). Všimněte si, že to znamená hledat číslo x takové, že \(x^2=144\). Pojďme otestovat některé možnosti s přirozenými čísly:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Proto, \(\sqrt{144}=12\).
Příklad 2:
Jaká je odmocnina čísla 100?
Rozlišení:
Zavolejte na číslo, které hledáme x, tj. \(\sqrt[3]=x\). Tohle znamená tamto \(x^3=100\). Pojďme otestovat některé možnosti:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Všimněte si, že hledáme číslo, které je mezi 4 a 5, jako \(4^3=64\) to je \(5^3=125\). Pojďme tedy vyzkoušet některé možnosti s čísly mezi 4 a 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Tak jako \(4,6^3 \) je číslo blízké a menší než 100, můžeme říci, že 4,6 je aproximace k třetí odmocnině 100. Proto, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Důležité:Když je kořen racionální číslo, říkáme, že kořen je přesný; jinak kořen není přesný. Ve výše uvedeném příkladu určíme rozsah mezi přesnými kořeny, kde se hledaný kořen nachází:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Tato strategie je velmi užitečná pro výpočet aproximací kořene.
Operace s radikály
V operacích s radikály používáme termíny se stejným indexem. Vzhledem k tomu si pozorně přečtěte následující informace.
→ Sčítání a odčítání mezi radikály
Abychom vyřešili sčítání nebo odčítání mezi radikály, musíme vypočítat kořen každého radikálu zvlášť.
Příklady:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Důležité: Není možné provádět operace sčítání a odčítání s radikály. Všimněte si, že například operace \(\sqrt4+\sqrt9\) výsledkem je jiný počet \(\sqrt{13}\), i kdyby \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Násobení a dělení mezi radikály
K vyřešení násobení nebo dělení mezi radikály můžeme vypočítat kořen každého radikálu zvlášť, ale můžeme také použít vlastnosti záření, které uvidíme níže.
Příklady:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Jaké jsou vlastnosti záření?
→ Vlastnost 1 radiace
Je-li y kladné číslo, pak n-tá odmocnina z \(y^n\) se rovná y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Viz příklad:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Tato vlastnost je široce používána pro zjednodušení výrazů s radikály.
→ Vlastnost 2 radiace
N-tá odmocnina součinu \(y⋅z\) se rovná součinu n-tých odmocnin yaz.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Viz příklad:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Důležité: Když počítáme odmocninu velkého čísla, je to velmi užitečné rozložit (rozložit) radikand na prvočísla a použijte vlastnosti 1 a 2. Viz následující příklad, ve kterém chceme počítat \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Takhle,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Nemovitost 3zakořenění
N-tá odmocnina kvocientu \(\frac{y}z\), s \(z≠0\), se rovná podílu n-tých odmocnin y a z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Viz příklad:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Vlastnost 4 radiace
N-tá odmocnina y umocněná na exponent m se rovná n-té odmocnině z \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Viz příklad:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Viz také: Jaké jsou vlastnosti potenciace?
Řešené cvičení na radiaci
Otázka 1
(FGV) Zjednodušení \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), dostaneš:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Rozlišení:
Alternativa C.
Všimněte si, že pomocí vlastností záření máme
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Výraz výroku tedy můžeme přepsat jako
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Uvedení termínu \(\sqrt3\) důkazy, uzavíráme to
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
otázka 2
(Cefet) Jakým číslem máme vynásobit číslo 0,75, aby se odmocnina získaného součinu rovnala 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Rozlišení:
Alternativa A.
Hledané číslo je x. Podle prohlášení tedy
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Proto,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
