Ó objem komolého kužele je prostor, který zabírá toto kulaté těleso. Protože průřez kužele o poloměru R vytváří menší kužel o poloměru r a komolý kužel, objemy těchto tří těles spolu souvisí.
Čtěte také: Jak vypočítat kmen pyramidy
Shrnutí objemu komolého kužele
- Kužel o poloměru R řezaný příčně ve výšce H základní roviny je rozdělena na dvě geometrická tělesa: kužel o poloměru r to je kmenový kužel.
- Hlavními prvky komolého kužele jsou výška H, nejmenší základna poloměru r a větší základna poloměru R.
- Objem komolého kužele je rozdíl mezi objemem kužele o poloměru R a objemem kužele o poloměru r.
- Vzorec pro objem komolého kužele je:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Video lekce o objemu komolého kužele
Jaké jsou prvky komolého kužele?
Prvky komolého kužele vytvořeného z řezu pravého kužele o poloměru R jsou:
- vedlejší základna – poloměr kružnice r, získaný v řezu kužele o poloměru R .
- větší základna – kruhová základna kužele o poloměru R .
- výška (h) – vzdálenost mezi rovinami podstav.
- Generatrix – segment s konci na obvodech, které vymezují základny.
A obrázek níže představuje prvky komolého kužele. Všimněte si, že vedlejší a hlavní báze jsou paralelní.
Objemový vzorec kmene kužele
Dále odvodíme vzorec pro objem komolého kužele výšky H, menší poloměr základny r a poloměr největší základny R .
Uvažujme, že průřez kužele o poloměru R a výšce H1 produkuje dvě pevné látky:
- kužel blesku r a výška h2 to je
- vysoký kmenový kužel H .
uvědomit si, že \(H_1=H_2+h\).
Objem kužele o poloměru R (kterému budeme říkat větší kužel) bude reprezentován VR; objem poloměru kužele r (který budeme nazývat menší kužel), podle Vr; a objem komolého kužele o Vt. Proto:
\(V_R=V_r+V_t\)
Všimněte si, že:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Pozorování: VR a Vr jsou objemy kuželů. Chcete-li tuto záležitost zkontrolovat, klikněte tady.
Takhle:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
Člen H2 odpovídá výšce menšího kužele. Vztahem výšek kuželů k příslušným poloměrům základen můžeme získat vzorec pro objem kmene, který závisí pouze na prvcích kmene (R, r to je H).
Přiřazení poloměru a výšky většího kužele (R a H1 ) s poloměrem a výškou menšího kužele (r a H2), máme následující podíl:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Již brzy, můžeme přepsat objem kufru PROTIt jak následuje:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Takhle, Vzorec pro objem komolého kužele je:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Přečtěte si také: Objemové vzorce různých geometrických těles
Jak vypočítat objem komolého kužele?
Chcete-li vypočítat objem komolého kužele, stačí do vzorce dosadit míry výšky, poloměru menší základny a poloměru větší základny.
- Příklad: Jaký je objem v centimetrech krychlových komolého kužele, jehož poloměr větší základny je R = 5 cm, poloměr menší základny je r = 3 a výška je h = 2 cm? (Použijte π=3 )
Nahrazením dat ve vzorci máme:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Řešené úlohy na objem komolého kužele
Otázka 1
Hrnec má tvar komolého kužele s největším poloměrem základny R = 8 cm, nejmenším poloměrem základny r = 4 a výšku h = 2 cm. Objem tohoto hrnce v cm³ je:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pí
e) 1344 pi
Rozlišení
Nahrazením dat ve vzorci máme:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternativa D
otázka 2
(Enem 2021) Jedna osoba si koupila hrnek na pití polévky, jak je znázorněno na obrázku.
Je známo, že 1 cm³ = 1 ml a že horní část hrnku je kruh o průměru (D) o velikosti 10 cm a základna je kruh o průměru (d) o velikosti 8 cm.
Dále je známo, že výška (h) tohoto hrnku měří 12 cm (vzdálenost mezi středem horního a spodního kruhu).
Použijte 3 jako aproximaci pro π.
Jaká je objemová kapacita tohoto hrnku v mililitrech?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Rozlišení
Tvar hrnku je komolý kužel, jehož horní část je větší základna. Také R=5, r = 4 cm a H = 12. Již brzy:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Protože 1 cm³ = 1 ml, máme 732 cm³ = 732 ml.
Alternativa C
Prameny:
DANTE, L. R. Matematika: kontext a aplikace - Střední škola. 3. vyd. Sao Paulo: Attika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Ne. Základy elementární matematiky, Vol 10: Prostorová geometrie - pozice a metrika. 7 vyd. Santos: Aktuální, 2013.
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
