součet a produkt Je to metoda používaná k nalezení řešení a rovnice. Pro výpočet kořenů a používáme jako metodu součet a součin Rovnice 2. stupně, typu ax² + bx + c = 0.
To je zajímavá metoda, když řešení rovnice jsou celá čísla. V případech, kdy řešení nejsou celá čísla, může být docela komplikované použít součet a součin s jinými jednoduššími metodami k nalezení řešení rovnice.
Přečtěte si také: Bhaskara — nejznámější vzorec pro řešení kvadratických rovnic
Souhrn o součtu a produktu
- Součet a součin je jednou z metod používaných k nalezení řešení úplné kvadratické rovnice.
- Součtem a součinem, daným rovnicí 2. stupně ax² + bx + c = 0, máme:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- X1 to je X2 jsou řešení kvadratické rovnice.
- a, b a c jsou koeficienty rovnice 2. stupně.
Co je součet a součin?
Součet a součin je jedna z metod, kterou můžeme použít k nalezení řešení rovnice. Při použití v rovnicích 2. stupně může být součet a součin praktičtější metodou k nalezení řešení rovnice rovnice, protože se skládá z hledání čísel, která splňují vzorec součtu a součinu pro daný rovnice.
Součet a vzorec produktu
V kvadratické rovnici, typu ax² + bx + c = 0, s řešením rovným x1 a x2, podle součtu a produktu máme:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Jak vypočítat kořeny pomocí součtu a součinu?
Abychom našli řešení, nejprve hledáme celá čísla, jejichž součin je roven \(\frac{c}{a}\).
Víme, že řešení rovnice mohou být kladná nebo záporná:
- Kladný součin a kladný součet: oba kořeny jsou kladné.
- Kladný součin a záporný součet: oba kořeny jsou záporné.
- Záporný součin a kladný součet: jeden kořen je kladný a druhý záporný a ten s největším modulem je kladný.
- Záporný součin a záporný součet: jeden kořen je kladný a druhý záporný a ten s největším modulem je záporný.
Později, po vypsání všech produktů, které splňují rovnici, analyzujeme, který z nich rovnici splňuje. rovnice součtu, tedy jaká jsou ta dvě čísla, která splňují rovnici součinu a součtu zároveň.
Příklad 1:
Najděte řešení rovnice:
\(x²-5x+6=0\)
Nejprve dosadíme do vzorce součtu a součinu. Máme, že a = 1, b = -5 a c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Protože součet a součin jsou kladné, kořeny jsou kladné. Při analýze produktu víme, že:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Nyní zkontrolujeme, který z těchto výsledků má součet rovný 5, což je v tomto případě:
\(2+3=5\)
Takže řešení této rovnice jsou \(x_1=2\ a\ x_2=3\).
Příklad 2:
Najděte řešení rovnice:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Nejprve dosadíme do vzorce součtu a součinu. Máme a = 1, b = 2 a c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Protože součet a součin jsou záporné, kořeny jsou opačného znaménka a ten s největším modulem je záporný. Při analýze produktu víme, že:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
Nyní se podívejme, který z těchto výsledků má součet rovný -2, což je v tomto případě:
\(4+\levý(-6\pravý)=-2\)
Takže řešení této rovnice jsou \(x_1=4\ a\ x_2=-6\) .
Přečtěte si také: Jak vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici
Řešené úlohy na součet a součin
Otázka 1
být y to je z kořeny rovnice 4X2-3X-1=0, hodnota 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Rozlišení:
Alternativa A
Výpočet podle součtu a součinu:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Takže musíme:
\(4\vlevo (y+4\vpravo)\vlevo (z+4\vpravo)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\vlevo (y+4\vpravo)\vlevo (z+4\vpravo)=4\vlevo (-\frac{1}{4}+4\vlevo (y+z\vpravo)+16\vpravo )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ že jo)\)
\(4\vlevo (y+4\vpravo)\vlevo (z+4\vpravo)=4\vlevo (-\frac{1}{4}+3+16\vpravo)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\vlevo (y+4\vpravo)\vlevo (z+4\vpravo)=75\)
otázka 2
S ohledem na rovnici 2X2 + 8x + 6 = 0, nechť S je součet kořenů této rovnice a P je součin kořenů rovnice, pak hodnota operace (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Rozlišení:
Alternativa B
Výpočet podle součtu a součinu:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Takže musíme:
\(\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49\)
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
