A kulový uzávěr a geometrické těleso získané, když je koule zachycena rovinou, která ji rozděluje na dvě geometrická tělesa. Kulovitý uzávěr je považován za kulaté těleso, protože má stejně jako koule zaoblený tvar. Pro výpočet plochy a objemu kulového uzávěru používáme specifické vzorce.
Přečtěte si také: Kužel kužele — geometrické těleso tvořené dnem kužele, když je vyrobena sekce rovnoběžná se základnou
Shrnutí o kulovém uzávěru
- Kulový uzávěr je geometrické těleso získané, když je koule rozdělena rovinou.
- Hlavními prvky kulového uzávěru jsou poloměr koule, poloměr kulového uzávěru a výška kulového uzávěru.
- Kulovitý uzávěr není mnohostěn, ale kulaté tělo.
- Pokud rovina rozděluje kouli na polovinu, kulový uzávěr tvoří polokouli.
- Poloměr kulového uzávěru je možné vypočítat pomocí Pythagorovy věty, organizované takto:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
- Plochu kulového uzávěru lze vypočítat pomocí vzorce:
\(A=2\pi rh\ \)
- Objem kulového uzávěru lze vypočítat pomocí následujícího vzorce:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Co je to kulový uzávěr?
kulový uzávěr je geometrické těleso získané, když je řez míč běžný byt. Když kouli rozřízneme rovinou, rozdělíme tuto kouli na dvě kulové čepice. Když kouli rozdělíme na polovinu, kulový uzávěr je známý jako polokoule.
Prvky kulového uzávěru
U kulového uzávěru jsou hlavními prvky poloměr koule, poloměr kulového uzávěru a výška kulového uzávěru.
- R → poloměr koule.
- r → poloměr kulového uzávěru.
- h → výška kulového uzávěru.
Je kulový uzávěr mnohostěn nebo kulaté těleso?
Vidíme, že víčko je geometrické těleso. Protože má kruhovou základnu a zaoblený povrch, kulový uzávěr se považuje za a kulaté tělo, který je také známý jako pevná látka revoluce. Za zmínku stojí, že mnohostěn má tváře tvořené mnohoúhelníky, což není případ kulovitého uzávěru, který má základnu tvořenou a kruh.
Jak vypočítat poloměr kulového uzávěru?
Chcete-li vypočítat poloměr délky kulového uzávěru, je nutné znát délku výšky h kulového uzávěru a délku poloměru R koule, protože, jak můžeme vidět na následujícím obrázku, existuje pythagorejský vztah.
Všimněte si, že máme a pravoúhlý trojuhelník, trojúhelník OO'B, s přeponou měřící R a nohami měřícími R – h a r. Uplatnění Pythagorova věta, Musíme:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
Příklad:
Jaký je poloměr kulového uzávěru, který má výšku 2 cm, za předpokladu, že poloměr koule je 5 cm?
Rozlišení:
Použití pythagorejského vztahu:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
\(\left (5-2\right)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Jak vypočítat plochu kulového uzávěru?
Chcete-li vypočítat plochu kulového uzávěru, je nutné znát měření délky poloměru R koule a výšky h uzávěru. Vzorec použitý pro výpočet plochy povrchu je:
\(A=2\pi Rh\)
- R → poloměr koule.
- h → výška kulového uzávěru.
Příklad:
Kulový uzávěr byl získán z koule, která má poloměr 6 cm a výšku 4 cm. Jaký je tedy povrch tohoto kulového uzávěru?
Rozlišení:
Při výpočtu plochy kulového uzávěru máme:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Jak vypočítat objem kulového uzávěru?
Objem kulového uzávěru lze vypočítat dvěma způsoby. První vzorec závisí na poloměru R koule a výšce h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\vlevo (3 R-h\vpravo)\)
Příklad:
Jaký je objem kulového uzávěru získaného z koule o poloměru 8 cm, jejíž výška kulového uzávěru je 6 cm?
Rozlišení:
Protože známe hodnotu R a h, použijeme první vzorec.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\vlevo (3 R-h\vpravo)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\vlevo (18\vpravo)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Druhý vzorec objemu kulového uzávěru bere v úvahu poloměr kulového uzávěru r a výšku uzávěru h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Příklad:
Jaký je objem kulovitého uzávěru, který má poloměr 10 cm a výšku 4 cm?
Rozlišení:
V tomto případě máme r = 10 cm a h = 4 cm. Protože známe hodnotu poloměru kulového uzávěru a výšku, použijeme druhý vzorec:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\cca 210,7\ \pi\ cm³\)
Viz také: Kmen pyramidy — geometrické těleso tvořené dnem pyramidy, když se vezme příčný řez
Řešené cvičení na kulové čepici
Otázka 1
(Enem) K výzdobě dětského párty stolku kuchař použije kulový dýnko o průměru 10 cm, který poslouží jako podpěra k napíchnutí různých sladkostí. Sejme z melounu kulový uzávěr, jak je znázorněno na obrázku, a aby byla zaručena stabilita této podpěry, aby se meloun nekutálel po stole, kuchař bude řezat tak, aby poloměr r kruhového řezu byl min. mínus 3 cm. Na druhou stranu šéf bude chtít mít co největší plochu v regionu, kde budou sladkosti vyvěšeny.
Aby kuchař dosáhl všech svých cílů, musí uříznout vršek melounu ve výšce h, v centimetrech, rovnající se
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
b)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Rozlišení:
Alternativa C
Víme, že průměr koule je 10 cm, takže její poloměr je 5 cm, takže OB = 5 cm.
Pokud je poloměr řezu přesně 3 cm, máme:
AO² + AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO2 + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Proto:
h + 4 = 5
h = 5–4
h = 1
otázka 2
Kulový uzávěr má plochu 144π cm². S vědomím, že má poloměr 9 cm, je výška tohoto kulového uzávěru:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Rozlišení:
Alternativa A
Víme, že:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Výška je 8 cm.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm