Cvičení na koeficienty a konkávnost paraboly

Ó graf funkce 2. stupně, f (x) = ax² + bx + c, je parabola a koeficienty The, B to je w souvisí s důležitými rysy podobenství, jako je např konkávnost.

Kromě toho, souřadnice vrcholu paraboly jsou vypočteny ze vzorců zahrnujících koeficienty a hodnotu diskriminující delta.

Diskriminant je zase funkcí koeficientů a z něj můžeme identifikovat, zda má nebo nemá funkce 2. stupně kořeny a jaké jsou, pokud nějaké jsou.

Jak vidíte, z koeficientů lépe pochopíme tvar paraboly. Chcete-li porozumět více, viz a seznam řešených úloh na konkávnost paraboly a koeficienty funkce 2. stupně.

Seznam cvičení na koeficienty a konkávnost paraboly

---

Otázka 1. Určete koeficienty každé z následujících funkcí 2. stupně a uveďte konkávnost paraboly.

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

c) f (x) = 4x² – 5

e) f(x) = -5x2

f) f (x) = x² – 1

---

Otázka 2. Z níže uvedených koeficientů kvadratických funkcí určete průsečík parabol s osou pořadnice:

a) f (x) = x² – 2x + 3

b) f (x) = -2x² + 5x

c) f (x) = -x2 + 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

---

Otázka 3. Vypočítejte hodnotu diskriminantu  a identifikujte, zda paraboly protínají osu úsečky.

a) y = -3x² – 2x + 5

b) y = 8x² – 2x + 2

c) y = 4x² – 4x + 1

---

Otázka 4. Určete konkávnost a vrchol každé z následujících parabol:

a) y = x² + 2x + 1

b) y = x² – 1

c) y = -0,8x2-x + 1

---

Otázka 5. Určete konkávnost paraboly, vrchol, průsečíky s osami a znázorněte graf následující kvadratické funkce:

f(x) = 2x² – 4x + 2

---

Řešení otázky 1

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

Koeficienty: a = 8, b = -4 a c = 1

Konkávnost: směrem nahoru, protože a > 0.

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

Koeficienty: a = 2, b = 3 a c = 5

Konkávnost: směrem nahoru, protože a > 0.

c) f (x) = -4x² – 5

Koeficienty: a = -4, b = 0 a c = -5

Konkávnost: dolů, protože a < 0.

e) f(x) = -5x2

Koeficienty: a = -5, b = 0 a c = 0

Konkávnost: dolů, protože a < 0.

f) f (x) = x² – 1

Koeficienty: a = 1, b = 0 a c = -1

Konkávnost: směrem nahoru, protože a > 0.

Řešení otázky 2

a) f (x) = x² – 2x + 3

Koeficienty: a= 1, b = -2 a c = 3

Průsečík s osou y je dán f (0). Tento bod přesně odpovídá koeficientu c kvadratické funkce.

Průsečík = c = 3

b) f (x) = -2x² + 5x

Koeficienty: a= -2, b = 5 a c = 0

Průsečík = c = 0

c) f (x) = -x2 + 2

Koeficienty: a= -1, b = 0 a c = 2

Průsečík = c = 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Koeficienty: a= 0,5, b = 3 a c = -1

Průsečík = c = -1

Řešení otázky 3

a) y = -3x² – 2x + 5

Koeficienty: a = -3, b = -2 a c = 5

Diskriminující:

Protože diskriminant je hodnota větší než 0, pak parabola protíná osu x ve dvou různých bodech.

b) y = 8x² – 2x + 2

Koeficienty: a = 8, b = -2 a c = 2

Diskriminující:

Protože diskriminant je hodnota menší než 0, pak parabola neprotíná osu x.

c) y = 4x² – 4x + 1

Koeficienty: a = 4, b = -4 a c = 1

Diskriminující:

Protože diskriminant je roven 0, pak parabola protíná osu x v jediném bodě.

Řešení otázky 4

a) y = x² + 2x + 1

Koeficienty: a= 1, b = 2 a c= 1

Konkávnost: nahoru, protože a > 0

Diskriminující:

Vrchol:

V(-1,0)

b) y = x² – 1

Koeficienty: a= 1, b = 0 a c= -1

Konkávnost: nahoru, protože a > 0

Diskriminující:

Vrchol:

V(0,-1)

c) y = -0,8x2-x + 1

Koeficienty: a= -0,8, b = -1 a c= 1

Konkávnost: dolů, protože a < 0

Diskriminující:

Vrchol:

V(-0,63; 1,31)

Řešení otázky 5

f(x) = 2x² – 4x + 2

Koeficienty: a = 2, b = -4 a c = 2

Konkávnost: nahoru, protože a > 0

Vrchol:

V(1.0)

Průsečík s osou y:

c = 2 ⇒ tečka (0, 2)

Průsečík s osou x:

Tak jako , pak parabola protíná osu x v jediném bodě. Tento bod odpovídá (rovným) kořenům rovnice 2x² – 4x + 2, které lze určit pomocí bhaskarův vzorec:

Proto parabola protíná osu x v bodě (1,0).

Grafický:

Také by vás mohlo zajímat:

• Funkční cvičení prvního stupně (afinní funkce)
• Goniometrické funkce – sinus, kosinus a tangens
• Doména, rozsah a obrázek