Cvičení s největším společným faktorem (GCD).

Ó největší společný dělitel (MDC), mezi dvěma nebo více čísly, je číslo, které je všechny dělí a je také největším možným číslem.

GCD můžeme určit tak, že najdeme všechny dělitele každého čísla a pak mezi nimi najdeme největšího společného dělitele.

Praktický způsob výpočtu MDC je však z rozklad na prvočinitele. V tomto případě je GCD dán součinem společných faktorů nejnižšího exponentu.

Chcete-li se o tomto tématu dozvědět více, podívejte se na a seznam cvičení s největším společným dělitelem (GCD). s rozlišením.

Seznam cvičení s největším společným faktorem (GCD).

---

Otázka 1. Najděte všechny dělitele 8 a 12 a určete mezi nimi GCD.

---

Otázka 2. Najděte všechny dělitele 6 a 9 a 15 a určete mezi nimi GCD.

---

Otázka 3. Rozložte čísla 18 a 21 na prvočinitele a vypočítejte GCD mezi nimi.

---

Otázka 4. Rozložte čísla 72, 81 a 126 na prvočinitele a vypočítejte GCD mezi nimi.

---

Otázka 5. Jaké je největší číslo, kterým můžeme současně dělit čísla 48 a 98?

---

Otázka 6. Učitel má 16 metrů modré stuhy a 24 metrů červené stuhy. Chce je nakrájet na stejně velké, ale co nejdelší kousky.

Jak velká bude každá stuha a kolik modrých a červených stuh dostane?

---

Otázka 7. Obchodník chce umístit 5200 rajčat a 3400 brambor do krabic tak, aby každá krabice měla stejné množství a byla co největší.

Určete počet rajčat a brambor v každé krabici a počet potřebných krabic.

---

Otázka 8. Výrobce celé šťávy má tři pobočky a chce přepravovat lahve vyrobené, za den, v každém z nich, v kamionech, které vezou stejné množství a to je největší možný.

Pokud je denní produkce 240, 300 a 360 lahví, kolik lahví musí uvézt každý kamion? Kolik kamionů na pobočku?

---

Řešení otázky 1

Dělitelé každého čísla:

D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Společní dělitelé: 1, 2 a 4
Největší společný dělitel: 4

GCD(8,12) = 4

Řešení otázky 2

Dělitelé každého čísla:

D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(9) = {1, 3, 9}
D(15) = {1, 3, 5, 15}

Společní dělitelé: 1, 2, 3
Největší společný dělitel: 3

GCD(6; 9; 15) = 3

Řešení otázky 3

Rozklad na prvočinitele 18:

18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 18 = 2. 3. 3

Rozklad na prvočinitele 21:

21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 21 = 3. 7

Takže 18 a 21 mají společný pouze jeden faktor: 3

Takže GCD(18; 21) = 3.

Řešení otázky 4

Rozklad na prvočinitele 72:

72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 72 = 2. 2. 2. 3. 3

Rozklad na prvočinitele 81:

81 | 3
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 81 = 3. 3. 3. 3

Rozklad na prvočinitele 126:

126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 126 = 2. 3. 3. 7

MDC(72, 81, 126) = 3. 3 = 9

Řešení otázky 5

Největší číslo, kterým můžeme dělit 48 a 98 současně, je GCD mezi nimi.

Rozklad na prvočinitele 48:

48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 48 = 2. 2. 2. 2. 3

Rozklad na prvočinitele 98:

98 | 2
49 | 7
7 | 7
1 ⇒ 98 = 2. 7. 7

GCD(48, 98) = 2

Takže největší číslo, kterým můžeme dělit jak čísla 48, tak 98, je číslo 2.

Řešení otázky 6

Nejdelší možná délka, stejná mezi modrou a červenou stuhou, je MDC mezi 16 a 24.

Rozklad na prvočinitele 16:

16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2

Rozklad na prvočinitele 24:

24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3

GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8

Každý kus pásky by proto měl být dlouhý 8 metrů.

16: 8 = 2 ⇒ budou 2 modré stuhy.
24: 8 = 3 ⇒ budou 3 červené stuhy.

Řešení otázky 7

Největší množství v každé krabici, stejné pro rajčata a brambory, je MDC mezi 5200 a 3400.

Rozklad na prvočinitele 5200:

5200 | 2
2600 | 2
1300 | 2
650 | 2
325 | 5
65 | 5
13 | 13
1 ⇒ 5200 = 2. 2. 2. 2. 5. 5. 13

Rozklad na prvočinitele 3400:

3400 | 2
1700 | 2
850 | 2
425 | 5
85 | 5
17 |17
1 ⇒ 5200 = 2. 2. 2. 5. 5. 17

MDC(5200, 3400) = 2. 2. 2. 5. 5 = 200

Každá krabice by proto měla mít 200 rajčat nebo brambor.

5200: 200 = 26 ⇒ to je 26 krabic rajčat.
3400: 200 = 17 ⇒ to je 17 přepravek brambor.

Celkem budete potřebovat 26 + 17 = 43 krabic.

Řešení otázky 8

Největší počet lahví přepravovaných v každém kamionu, stejný pro všechny tři pobočky, je MDC mezi 240, 300 a 360.

Rozklad na prvočinitele 240:

240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 240 = 2. 2. 2. 2. 3. 5

Rozklad na prvočinitele 300:

300 | 2
150 | 2
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1 ⇒ 300 = 2. 2. 3. 5. 5

Rozklad na prvočinitele 360:

360 | 2
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 360 = 2. 2. 2. 3. 3. 5

MDC(240, 300, 360) = 2. 2. 3. 5 = 60

Každý kamion tedy musí přepravit 60 lahví džusu.

240: 60 = 4 ⇒ pro pobočku, která vyrábí 240 lahví, budou 4 kamiony.
300: 60 = 5 ⇒ pro pobočku, která vyrábí 300 lahví, bude 5 kamionů.
360: 60 = 6 ⇒ pro pobočku, která vyrábí 360 lahví, bude 6 kamionů.

Také by vás mohlo zajímat:

• Seznam nejméně běžných vícenásobných cvičení – MMC
• Seznam cvičení na násobky a dělitele
• Seznam cvičení prvočísel a složených čísel