vypočítat faktoriál čísla má smysl pouze tehdy, když pracujeme s přirozenými čísly. Tato operace je zcela běžná kombinatorická analýza, usnadňující výpočet uspořádání, permutací, kombinací a dalších problémů spojených s počítáním. Faktoriál je reprezentovaný symbolem „!“. Definujeme to jako n! (n faktoriál) do násobení n všemi jeho předchůdci dokud nedosáhnete 1. Ne! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3,2 · 1.
Přečtěte si také: Základní princip počítání - hlavní koncept kombinatorické analýzy
Co je faktoriál?
Faktoriál je velmi důležitá operace pro studium a vývoj kombinatorické analýzy. V matematice následuje číslo vykřičník (!) je známý jako faktoriál, například x! (x faktoriál).
Známe jako faktoriál a přirozené číslo The vynásobením tohoto čísla jeho předchůdci kromě nuly, tj:
Ne! = n · (n-1) · (n-2)… 3,2 · 1 |
Je pozoruhodné, že aby tato operace měla smysl, n je přirozené číslo, to znamená, že nepočítáme faktoriál záporného čísla, ani desetinného čísla, ani zlomků.
faktoriální výpočet
Chcete-li najít faktoriál čísla, stačí vypočítat produkt. Všimněte si také, že faktoriál je operace, která, když zvýší hodnotu n, výsledek se také hodně zvýší.
Příklady:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Podle definice máme:
0! = 1
1! = 1
Faktoriální operace
Při řešení faktoriálových operací je důležité dávat pozor, abyste neudělali žádné chyby. Když budeme sčítat, odečítat nebo vynásobit dva faktoriály, je nutné vypočítat každý z nich zvlášť. Pouze divize má konkrétní způsoby, jak provádět zjednodušení. Nedělejte chybu, že provedete operaci a zachováte faktoriál, buď pro sčítání a odčítání nebo pro násobení.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Při řešení kterékoli z těchto operací musíme vypočítat každý z faktoriálů.
Příklady:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Podívejte se také: Jak řešit rovnici pomocí faktoriálu?
Faktoriální zjednodušení
Divize se docela opakují. Ve vzorcích kombinace, uspořádání a permutace s opakováním, vždy se uchýlíme ke zjednodušení, abychom vyřešili problémy spojené s faktoriálem. K tomu pojďme udělat několik kroků.
Příklad:
1. krok: identifikujte největší z faktoriálů - v tomto případě je to 8! Nyní, při pohledu na jmenovatele, kterým je 5!, napíšeme násobení 8 jeho předchůdci, dokud se nedostaneme k 5 !.
Faktoriál čísla n, tedy n!, Lze přepsat jako násobení n na k!. Tím pádem,
Ne! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, přepišme tedy 8! jako násobení od 8 do 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Pojďme tedy přepsat důvod jako:
2. krok: po přepsání důvod, je možné zjednodušit čitatele jmenovatelem, protože 5! je v čitateli i jmenovateli. Po zjednodušení jednoduše znásobte.
Příklad 2:
Kombinatorická a faktorová analýza
Při provádění při dalším studiu kombinatorické analýzy se vždy objeví faktoriál čísla. Hlavní seskupení kombinatorické analýzy, kterými jsou permutace, kombinace a uspořádání, používají ve svých vzorcích faktoriál čísla.
Permutace
THE permutace a přeskupení všech prvků sady. Pro výpočet permutace se uchýlíme k faktoriálu, protože permutace n prvků se vypočítá podle:
PNe = n!
Příklad:
Kolik přesmyčky můžeme stavět s názvem HEITOR?
Toto je typický problém s permutací. Jelikož je ve jménu 6 písmen, pro výpočet počtu možných přesmyček stačí vypočítat P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Také přístup: Permutace s opakovanými prvky: jak to vyřešit?
Uspořádání
Vypočítat ujednání vyžaduje také zvládnutí faktoriálu čísla. Uspořádání, podobně jako permutace, je vytvoření přeskupení. Rozdíl je v tom, v uspořádání měníme pořadí části sady, to znamená, že chceme vědět, kolik možných přeskupení můžeme vytvořit výběrem veličiny k jedné soubor s n prvky.
Příklad:
Ve společnosti je 6 kandidátů na správu instituce a dva budou vybráni na pozice ředitele a zástupce ředitele. Kolik možných výsledků je s vědomím, že budou voleni hlasováním?
V tomto případě budeme počítat uspořádání 6 převzato z 2 o 2, protože existuje 6 kandidátů na dvě volná místa.
Kombinace
V kombinaci, stejně jako v ostatních, je nutné zvládnout faktoriál čísla. Definujeme jako kombinaci vy podmnožiny sady. Rozdíl je v tom, že v kombinaci nedochází k přeskupování, protože pořadí není důležité. Takže počítáme, kolik podmnožin s k prvky můžeme vytvořit v sadě n prvků.
Příklad:
Za třídu bude vybrána komise složená ze 3 studentů. Kolik komisí lze vědět, že existuje 5 kandidátů?
Přečtěte si také: Uspořádání nebo kombinace?
vyřešená cvičení
Otázka 1 - O faktoriálu čísla posuďte následující prohlášení.
Já). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Pravda je pouze já.
B) Pouze II je pravda.
C) Pouze III je pravdivá.
D) Pouze já a II jsou pravdivé.
E) Pouze II a II jsou pravdivé.
Řešení
Alternativa A.
I) Pravda.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Nepravda.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Nepravda.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Otázka 2 - (UFF) Je produkt 20 · 18 · 16 · 14... · 6 · 4 · 2 ekvivalentní produktu?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Řešení
Alternativa D.
Při pohledu na součin všech sudých čísel od 2 do 20 víme, že:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Můžeme tedy přepsat jako 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
