Zjednodušení algebraických zlomků

Kdykoli se pro numerický výraz použije slovo „algebraické“, znamená to, že tento výraz má alespoň jedno neznámé, tj. písmeno nebo symbol používaný k reprezentaci čísla neznámý. Tak, a algebraický zlomekzase není nic jiného než zlomek, který má alespoň jednu neznámou v jmenovatel (spodní část zlomku). Proto zjednodušení algebraických zlomků následuje stejný základ jako zjednodušení numerických zlomků.

Příklady algebraických zlomků jsou:

1)

2x
4r

2)

4r² - 9x²
2 roky + 3x

Zjednodušení algebraických zlomků

Zjednodušení algebraického zlomku má stejný základ jako zjednodušení číselného zlomku. Je nutné dělit čitatele a jmenovatele stejným číslem. Všimněte si příkladu zjednodušení zlomků:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Frakce výše byla zjednodušena o 2, poté o 3 a poté o 5. Na podporu postupu zjednodušení algebraických zlomků, přepíšeme první zlomek výše v jeho zapracované podobě:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Všimněte si, že čísla 2, 3 a 5 se opakují v čitateli a jmenovateli a že se jednalo o přesně stejná čísla, kterými se zlomek zjednodušil. V kontextu

algebraické zlomky, postup je podobný je nutné zohlednit polynomy přítomné v čitateli a jmenovateli. Poté musíme posoudit, zda je možné některé z nich zjednodušit.

Příklady

1) Zjednodušte následující algebraický zlomek:

4x²y³
16xy⁶

Faktor každou z neznámých a čísel přítomných ve zlomku:

4x²y³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

Nyní proveďte co nejvíce dělení, jak jste to udělali dříve pro číselný zlomek: Čísla, která se objevují v čitateli i jmenovateli, zmizí, to znamená, že jsou "střih". Je také možné napsat, že výsledek každého z těchto zjednodušení je 1. Hodinky:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

X
2 · 2 · y · y · y

X
4r³

2) Zjednodušte následující algebraický zlomek:

4r² - 9x²
2 roky + 3x

Všimněte si, že tento čitatel algebraický zlomek spadá do jednoho z případů pozoruhodných produktů, tj rozdíl dvou čtverců. Chcete-li to zohlednit, jednoduše jej přepište do jeho zapracované podoby. Poté je možné „vyjmout“ výrazy, které se objevují jak ve jmenovateli, tak v čitateli, jako v předchozím příkladu. Hodinky:

4r² - 9x²
2 roky + 3x

= (2r + 3x) (2r - 3x)
2 roky + 3x

= 1 · (2r - 3x)

= 2 roky + 3x

3) Zjednodušte následující algebraický zlomek:

The²(r² - 16x²)
ay + 4ax

Jak již bylo dříve provedeno, faktor polynomy přítomné v čitateli a jmenovateli. Poté proveďte rozdělení, která jsou možná.

The²(r² - 16x²)
ay + 4ax

= The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

Všimněte si, že čitatel byl zohledněn pomocí rozdíl dvou čtverců a jmenovatel byl zohledněn prostřednictvím společného faktoru. Kromě toho výraz a² lze napsat jako produkt a · a. Nakonec proveďte co nejvíce divizí. Jmenovitě a o a (y + 4x) o (y + 4x):

The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

= 1,1 · (y - 4x)

= y - 4x

Faktorizační případy mají zásadní význam pro zjednodušení algebraických zlomků. Níže jsou uvedeny nejdůležitější případy a některé stránky, kde je lze nalézt podrobněji.

Faktoring algebraických výrazů

Polynom může být zapsán ve své formované formě, pokud může být vyjádřen v jedné ze čtyř forem níže. Prezentované výsledky jsou jejich zapracovanou formou nebo příklady, jak je rozčlenit:

1 - Společný faktor

Pokud všechny termíny polynomu mají neznámé nebo nějaké běžné číslo, je možné je uvést jako důkaz. Například v polynomu 4x² + 2x můžeme dát 2x důkaz. Výsledkem bude:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Všimněte si, že při provádění násobení uvedeného na druhém členu (pravá strana rovnosti) bude výsledek přesně první člen (levá strana rovnosti), kvůli distribučnímu majetku násobení.

2 - Seskupení

S ohledem na předchozí případ lze polynom, který má čtyři termíny, započítat seskupením a spojením společné pojmy dva po druhém, a později se znovu započítají, pokud to výsledky opustí možnost. Například 2x + bx + 2y + podle polynomu lze zohlednit následovně:

2x + bx + 2y + podle

x (2 + b) + y (2 + b)

Všimněte si, že (2 + b) se opakuje v obou nových termínech. Můžeme to tedy dokázat:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b) (x + y)

3 - Perfektní čtvercový trinomial

Kdykoli je polynom dokonalým čtvercovým trojčlenem, je zapsán jako ekvivalent jednoho z následujících tří výrazů uspořádaných vlevo a červeně.

X² + 2x + a² = (x + a) (x + a)

X² - 2x + a² = (x - a) (x - a)

X² - a² = (x + a) (x - a)

Na pravé straně je faktorizovaný tvar polynomu, který lze použít pro algebraické zjednodušení zlomku.

4 - Součet nebo rozdíl dvou kostek

Kdykoli je polynom v dalším tvaru nebo na něj lze zapsat, bude to součet dvou kostek.

X³ + 3x²při + 3x² +³ = (x + a)³

X³ - 3x²při + 3x² - a³ = (x - a)³

Levá strana je červeně opět polynomem, který lze započítat a přepsat jako výrazy na pravé straně.

Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm