THE modulární rovnice je a rovnice že v prvním nebo druhém členu má termíny v modulu. Modul, známý také jako absolutní hodnota, je spojen se vzdáleností, kterou má číslo k nule. Jelikož mluvíme o vzdálenosti, modul čísla je vždy kladný. Řešení problémů modulárních rovnic vyžaduje použití definice modulu, rovnici obvykle rozdělíme na dva možné případy:
když je to, co je uvnitř modulu, pozitivní a
když je to, co je uvnitř modulu, záporné.
Přečtěte si také: Jaký je rozdíl mezi funkcí a rovnicí?
jeden modul reálného čísla
Aby bylo možné řešit problémy modulárních rovnic, je třeba si pamatovat definici modulo. Modul je vždy stejný jako vzdálenost, kterou číslo musí vynulovat, a reprezentovat modul čísla Ne, používáme přímku takto: |Ne|. Pro výpočet |Ne|, rozdělili jsme se do dvou případů:
Můžeme tedy říci, že |Ne| je stejný jako ten vlastní Ne když je kladné číslo nebo rovno nule, a v druhém případě |Ne| se rovná opaku Ne pokud je negativní. Nezapomeňte, že opak záporného čísla je vždy kladný, takže |Ne| vždy má výsledek rovný kladnému číslu.
Příklady:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Podívejte se také: Jak vyřešit logaritmickou rovnici?
Jak vyřešit modulární rovnici?
K nalezení řešení modulární rovnice je nutné analyzovat každou z možností, to znamená rozdělit, vždy ve dvou případech, každý z modulů. Kromě znalosti definice modulu, k řešení modulárních rovnic, je důležité vědět, jak řešit polynomiální rovnice.
Příklad 1:
| x - 3 | = 5
Při hledání řešení této rovnice je důležité si uvědomit, že existují dva možné výsledky, které |Ne| = 5, to jsou oni, Ne = -5, protože | -5 | = 5, a také Ne = 5, protože | 5 | = 5. Takže pomocí stejné myšlenky musíme:
I → x - 3 = 5 nebo
II → x - 3 = -5
Řešení jedné z rovnic samostatně:
Rozlišení I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Rozlišení II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Existují tedy dvě řešení: S = {-2, 8}.
Všimněte si, že pokud x = 8, platí rovnice, protože:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Všimněte si také, že pokud x = -2, platí rovnice:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Příklad 2:
| 2x + 3 | = 5
Stejně jako v příkladu 1 je pro nalezení řešení nutné jej podle definice modulu rozdělit na dva případy.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Rozlišení I:
2x + 3 = 5
2x = 5-3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Rozlišení II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Pak soubor řešení je: S = {1, -4}.
Příklad 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Když máme rovnost dvou modulů, musíme ji rozdělit na dva případy:
1. případ, první a druhý člen stejného znaménka.
2. případ, první a druhý člen opačných znaků.
Rozlišení I:
Uděláme obě strany větší než nula, to znamená, že jednoduše odstraníme modul. Můžeme si také vystačit s oběma negativy, ale výsledek bude stejný.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Rozlišení II:
Strany opačných znaků. Vybereme jednu stranu jako pozitivní a druhou stranu jako negativní.
Výběr:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Musíme tedy:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Sada řešení je tedy: S = {4, -2/3}.
Také přístup: Co jsou iracionální rovnice?
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - (UFJF) Počet záporných řešení modulární rovnice | 5x - 6 | = x² je:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Řešení
Alternativní E
Chceme vyřešit modulární rovnici:
| 5x - 6 | = x²
Rozdělme to tedy na dva případy:
Rozlišení I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Musíme tedy:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Nezapomeňte, že hodnota delta nám říká, kolik řešení má kvadratická rovnice:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Protože 1 je pozitivní, pak v tomto případě existují dvě skutečná řešení.
Rozlišení II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Protože i v tomto případě je Δ kladné, pak existují dvě reálná řešení, takže součet skutečných řešení je 4.
Otázka 2 - (PUC SP) Sada řešení S rovnice | 2x - 1 | = x - 1 je:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Řešení
Alternativa A
Rozlišení I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Musíme tedy:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Rozlišení II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1-1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
