Mezi způsoby, jak najít číselnou hodnotu x, je proces známý také jako najít kořeny rovnice nebo najít řešení rovnice, vyniknout: Bhaskara vzorec to je proces dokončování čtverců. Na druhý z nich se zaměřuje dnešní text.
Počet řešení rovnice je dán jejím stupněm. Proto rovnice prvního stupně mají pouze jedno řešení, rovnice třetího stupně mají tři řešení a kvadratické rovnice mají dvě řešení, nazývaná také kořeny..
Rovnice druhého stupně v jejich zmenšené podobě lze psát následovně:
sekera2 + bx + c = 0
metoda dokončení čtverce
V takovém případě je kvadratická rovnice dokonalým čtvercovým trojčlenem
Rovnice druhého stupně vyplývající z pozoruhodného produktu jsou známé jako perfektní čtvercový trojčlen. K nalezení jejích kořenů použijeme níže uvedenou metodu:
Příklad: Vypočítejte kořeny rovnice x2 + 6x + 9 = 0.
Všimněte si, že koeficient b je 6 = 2,3. Chcete-li jej napsat ve formě pozoruhodného produktu, stačí zkontrolovat, zda c = 32, což je pravda, od 32 = 9 = c. Tímto způsobem můžeme psát:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Pozoruhodný produkt je produkt mezi dvěma stejnými polynomy. V případě této rovnice budeme mít:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Produkt se rovná nule, pouze když se jeden z jejích faktorů rovná nule. Proto pro (x + 3) (x + 3) = 0 je nutné, aby (x + 3) = 0 nebo (x + 3) = 0. Proto dva stejné výsledky pro rovnici x2 + 6x + 9 = 0, což jsou: x = - 3 nebo x = - 3.
Ve zkratce: vyřešit rovnici x2 + 6x + 9 = 0, napište:
X2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 nebo x = - 3
V takovém případě není kvadratická rovnice dokonalým čtvercovým trojčlenem
Rovnice druhé, ve které koeficient b a koeficient c nesplňují výše stanovené vztahy, není dokonalým čtvercovým trojčlenem. V tomto případě lze použít způsob řešení zvýrazněný výše s přidáním několika kroků. Všimněte si následujícího příkladu:
Příklad: Vypočítejte kořeny rovnice x2 + 6x - 7 = 0.
Všimněte si, že tato rovnice není dokonalým čtvercovým trojčlenem. Aby to bylo možné, můžeme použít následující operace:
Všimněte si, že b = 2 · 3, takže v prvním členu by měl být výraz x2 + 6x + 9, protože v tomto výrazu b = 2 · 3 a c = 32.
Pro tuto „transformaci“ přidejte 32 na dvou členech této rovnice „předejte“ - 7 druhému členu, proveďte možné operace a sledujte výsledky:
X2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
X2 + 6x + 32 = 32 + 7
X2 + 6x + 9 = 9 + 7
X2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 nebo x + 3 = - 4
Tento poslední krok musí být rozdělen do dvou rovnic, protože kořen 16 může být buď 4 nebo - 4 (k tomu dochází pouze v rovnicích. Na otázku, co je kořen 16, je odpověď jen 4). Je tedy nutné najít všechny možné výsledky. Pokračování:
x + 3 = 4 nebo x + 3 = - 4
x = 4 - 3 nebo x = - 4 - 3
x = 1 nebo x = - 7
V takovém případě se koeficient „a“ nerovná 1
Předchozí případy jsou určeny pro kvadratické rovnice, kde je koeficient „a“ roven 1. Pokud je koeficient „a“ odlišný od 1, vydělte celou rovnici hodnotou „a“ a pokračujte ve výpočtech stejným způsobem jako v předchozím případě.
Příklad: Vypočítejte 2x kořeny2 + 16x - 18 = 0
Všimněte si, že a = 2. Vydělte tedy celou rovnici čísly 2 a výsledky zjednodušte:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
X2 + 8x - 9 = 0
Jakmile to uděláte, opakujte postupy z předchozího případu.
X2 + 8x - 9 = 0
X2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
X2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 nebo x + 4 = –5
x = 5 - 4 nebo x = - 5 - 4
x = 1 nebo x = - 9
Pozoruhodné produkty a rovnice druhého stupně: Původ metody dokončení čtverce
Kvadratické rovnice jsou velmi podobné pozoruhodným produktům součet čtverečních a druhá mocnina rozdílu.
Součet na druhou je například součet dvou monomií na druhou. Hodinky:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
První člen výše uvedené rovnosti je známý jako pozoruhodný produkt a druhý jak perfektní čtvercový trinomial. Ten druhý je velmi podobný rovnici druhého stupně. Hodinky:
Perfektní čtvercový trinomial: X2 + 2kx + k2
Rovnice druhého stupně: sekera2 + bx + c = 0
Tímto způsobem, pokud existuje způsob, jak napsat kvadratickou rovnici jako pozoruhodný produkt, možná existuje také způsob, jak najít své výsledky, aniž byste museli používat vzorec Bhaskara.
Za tímto účelem si všimněte, že v pozoruhodném produktu výše je a = 1, b = 2 · k a c = k2. Tímto způsobem je možné psát rovnice, které splňují tyto požadavky, ve formě pozoruhodného produktu.
Podívejte se tedy na koeficienty v rovnici. Pokud se „a“ liší od 1, vydělte celou rovnici hodnotou „a“. Jinak sledujte koeficient „b“. Číselná hodnota poloviny tohoto koeficientu se musí rovnat číselné hodnotě druhé odmocniny koeficientu „c“. Matematicky, vzhledem k rovnici ax2 + bx + c = 0, pokud a = 1 a navíc:
B = c
2
Tuto rovnici tedy můžete napsat takto:
sekera2 + bx + c = (x + B) = 0
2
A jeho kořeny budou - B a + b.
2 2
Proto celá teorie použitá k výpočtu kořenů kvadratických rovnic metodou doplňování čtverců.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
