A matice identity je zvláštní druh hlavní sídlo. Známe jako matici identity In čtvercová matice řádu n, která má všechny členy na diagonále rovné 1 a členy nepatřící do hlavní diagonály rovné 0. Matice identity je považována za neutrální prvek násobení, tedy pokud matici vynásobíme M pomocí matice identity najdeme jako výsledek matici samotnou M.
Viz také: Jaký je determinant matice?
Témata tohoto článku
- 1 - Shrnutí o matici identity
-
2 - Co je matice identity?
- ? Typy matice identity
- 3 - Vlastnosti identifikační matice
- 4 - Násobení matice identity
- 5 - Řešené úlohy na matici identity
Shrnutí o matici identity
Matice identity je čtvercová matice s prvky na hlavní diagonále rovnými 1 a s ostatními prvky rovnými 0.
Existují matice identity různých řádů. Reprezentujeme identitní matici řádu n od I n.
Matice identity je neutrálním prvkem násobení matrice, tj. \(A\cdot I_n=A.\)
Součin čtvercové matice a její inverzní matice je matice identity.
Co je matice identity?
Matice identity je a speciální typ čtvercové matice
. Čtvercová matice je známá jako matice identity, pokud má všechny prvky na hlavní diagonále rovné 1 a všechny ostatní prvky rovné 0. Pak v každé matici identity:
➝ Typy matice identity
Existují matice identity různých řádů. objednávka n zastupuje In. Podívejme se níže na některé matice jiných řádů.
Identifikační matice objednávky 1:
\(I_1=\vlevo[1\vpravo]\)
Identifikační matice objednávky 2:
\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Identifikační matice objednávky 3:
\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Identifikační matice objednávky 4:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Identifikační matice objednávky 5:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Postupně můžeme zapisovat matice identity různých řádů.
Nepřestávej teď... Po publicitě je toho víc ;)
Vlastnosti matice identity
Matice identity má důležitou vlastnost, protože je neutrálním prvkem násobení mezi maticemi. Tohle znamená tamto jakákoli matice vynásobená maticí identity se rovná sama sobě. Tedy vzhledem k matici M řádu n,my máme:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Další důležitou vlastností matice identity je, že součin čtvercové matice a její inverzní matice je matice identity. Je dána čtvercová matice M řádu n, součin M jeho inverzní je dán vztahem:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Přečtěte si také: Co je trojúhelníková matice?
Násobení matice identity
Když vynásobíme matici M identitní maticí řádu n, dostaneme jako výsledek matici M. Podívejme se níže na příklad součinu matice M řádu 2 a matice identity řádu 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matice}\right) \) to je \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Předpokládejme, že:
\(A\cdot I_n=B\)
My máme:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Takže součin A by \(V\) bude to:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Všimněte si, že členy matice B jsou totožné s členy matice A, to znamená:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Příklad:
Bytost M Matrix \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), vypočítejte součin mezi maticí M a matrice \(I_3\).
Rozlišení:
Při násobení máme:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\\right\end\matrix})
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot\cdot+do 4\cdot\cdot+do+ \ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot1+1-2\cdot0\cdot1+1-3\cdot0\cdot cdot 1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Řešená cvičení na matici identity
Otázka 1
Existuje čtvercová matice řádu 3, která je definována pomocí \(a_{ij}=1 \) když \(i=j\) to je \(a_{ij}=0\) to je když \(i\neq j\). Tato matrice je jako:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
b) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
A) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Rozlišení:
Alternativa D
Při analýze matice máme:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Matice se tedy rovná:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
otázka 2
(UEMG) Pokud je inverzní matice \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), hodnota x je:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Rozlišení:
Alternativa A
Vynásobením matic si uvědomíme, že jejich součin je roven matici identity. Výpočtem součinu druhého řádku matice prvním sloupcem jeho inverze máme:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Chtěli byste odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Matice identity"; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Zpřístupněno 20. července 2023.
Pochopení aplikace matrik je důležitý fakt, abyste nezůstali u přijímací zkoušky pozadu. Aplikace matrik u přijímacích zkoušek se provádí spojením několika pojmů matrik v jedné otázce.
Naučte se vypočítat determinanty čtvercových matic řádu 1, 2 a 3. Naučte se používat Sarrusovo pravidlo. Znát vlastnosti determinantů.
Pochopte zde definice a formalizace maticové struktury. Podívejte se také, jak ovládat jeho prvky a různé typy matic.
Klikněte sem a zjistěte, co je symetrická matice. Poznejte její vlastnosti a zjistěte, jak se liší od antisymetrické matice.
Pochopte, co je transpoziční matice. Znát vlastnosti transponované matice. Naučte se, jak najít transponovanou matici dané matice.
Naučte se vypočítat násobení mezi dvěma maticemi a zjistěte, co je matice identity a co je inverzní matice.
Znát Cramerovo pravidlo. Naučte se používat Cramerovo pravidlo k nalezení řešení lineárního systému. Viz zpracované příklady Cramerova pravidla.
Znáte Sarrusovo pravidlo? Naučte se používat tuto metodu k nalezení determinantu matic 3x3.
Krčit se
Slang upravený z angličtiny se používá k označení někoho, kdo je považován za nevkusného, hanebného, zastaralého a nemódního.
Neurodiverzita
Termín, který vytvořila Judy Singer, se používá k popisu široké škály způsobů, jak se lidská mysl chová.
PL falešných zpráv
Také známý jako PL2660 je návrh zákona, který zavádí mechanismy pro regulaci sociálních sítí v Brazílii.
