A tečna (zkráceně tg nebo tan) je a goniometrická funkce. K určení tečny úhlu můžeme použít různé strategie: vypočítat poměr mezi sinem a kosinusem úhlu, pokud jsou známy; použít tečnou tabulku nebo kalkulačku; vypočítejte poměr mezi protilehlou a přilehlou nohou, pokud je daný úhel mimo jiné vnitřní (akutní) pravoúhlého trojúhelníku.
Přečtěte si také: K čemu slouží trigonometrický kruh?
shrnutí o tečně
Tangenta je goniometrická funkce.
Tangenta vnitřního úhlu k pravoúhlému trojúhelníku je poměr protilehlé strany k sousední straně.
Tangenta libovolného úhlu je poměr sinu a kosinu tohoto úhlu.
Funkce \(f (x)=tg\ x\) je definován pro úhly X vyjádřeno v radiánech, takže cos \(cos\ x≠0\).
Graf funkce tečny ukazuje vertikální asymptoty pro hodnoty, kde \(x= \frac{π}2+kπ\), s k celé, jako \(x=-\frac{π}2\).
Zákon tečen je výraz, který v jakémkoli trojúhelníku spojuje tečny dvou úhlů a protilehlých stran k těmto úhlům.
Tangenta úhlu
Je-li α jedna úhel vnitřní a pravoúhlý trojuhelník, tangens α je poměr mezi délkou protější větve a délkou sousední větve:
Pro jakýkoli úhel α je tangens poměr mezi sin α a kosinusem α, kde \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Je třeba poznamenat, že pokud α je úhel v 1. nebo 3. kvadrantu, tečna bude mít kladné znaménko; ale pokud α je úhel 2. nebo 4. kvadrantu, tečna bude mít záporné znaménko. Tento vztah vyplývá přímo ze znaménkového pravidla mezi znaménky sinus a kosinus pro každé α.
Důležité: Všimněte si, že tečna neexistuje pro hodnoty α kde \(cos\ α=0\). To se děje pro úhly 90°, 270°, 450°, 630° a tak dále. K obecnému znázornění těchto úhlů používáme radiánovou notaci: \(\frac{ π}2+kπ\), s k Celý.
Tangenta významných úhlů
Použití výrazu \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), můžeme najít tečny pozoruhodné úhly, což jsou úhly 30°, 45° a 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Zajímavý: Kromě toho můžeme analyzovat hodnoty tečny pro úhly 0° a 90°, které jsou také široce používané. Protože sin 0° = 0, usuzujeme, že tan 0° = 0. Pro úhel 90°, protože cos90° = 0, tečna neexistuje.
Jak vypočítat tečnu?
Pro výpočet tečny použijeme vzorec tg α=sin αcos α, který se používá pro výpočet tečny libovolného úhlu. Podívejme se na některé příklady níže.
Příklad 1
Najděte tangens úhlu α v pravoúhlém trojúhelníku níže.
Rozlišení:
Pokud jde o úhel α, strana míry 6 je protilehlá strana a strana míry 8 je strana přilehlá. Takhle:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Příklad 2
Vědět to \(hřích\ 35°≈0,573\) a cos\(35°≈0,819\), najděte přibližnou hodnotu tečny 35°.
Rozlišení:
Protože tangens úhlu je poměr mezi sinusem a kosinusem tohoto úhlu, máme:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
tečnou funkci
Pro úhly je definována funkce fx=tg x X vyjádřeno v radiánech, takže \(cos\ x≠0\). To znamená, že definiční obor funkce tangens je vyjádřen takto:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Navíc všechny reálná čísla jsou obrazem funkce tečny.
→ Graf funkce tečny
Všimněte si, že graf funkce tečny má vertikální asymptoty pro hodnoty kde \(x= \frac{π}2+kπ\), s k celé, jako \( x=-\frac{π}2\). Pro tyto hodnoty X, tečna není definována (tj. tečna neexistuje).
Viz také: Co je doména, rozsah a obrázek?
zákon tečen
Zákon tečen je a výraz, který sdružuje v a trojúhelník libovolný, tečny dvou úhlů a strany protilehlé těmto úhlům. Uvažujme například úhly α a β trojúhelníku ABC níže. Všimněte si, že strana CB = a je proti úhlu α a strana AC = b je proti úhlu β.
Zákon tečen říká, že:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometrické poměry
K trigonometrické poměry jsou goniometrické funkce zpracované na pravoúhlém trojúhelníku. Tyto poměry interpretujeme jako vztahy mezi stranami a úhly tohoto typu trojúhelníku.
Řešené úlohy na tečně
Otázka 1
Nechť θ je úhel druhého kvadrantu takový, že sin\(hřích\ θ≈0,978\), takže tgθ je přibližně:
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Rozlišení
Alternativa A
-li \(hřích\ θ≈0,978\), pak pomocí základní identity trigonometrie:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Protože θ je úhel druhého kvadrantu, pak cosθ je záporné, proto:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Již brzy:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
otázka 2
Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABC s nohami AB = 3 cm a AC = 4 cm. Tangenta úhlu B je:
A) \(\frac{3}4\)
b) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
A) \(\frac{5}3\)
Rozlišení:
Alternativa C
Podle tvrzení, noha proti úhlu \(\klobouk{B}\) je AC měřící 4 cm a noha přiléhající k úhlu \(\klobouk{B}\) je AB s mírou 3 cm. Takhle:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učitel matematiky
