symetrická matice je hlavní sídlo ve kterém každý prvek \(a_{ij}\) se rovná prvku \(a_{ji}\) pro všechny hodnoty i a j. V důsledku toho je každá symetrická matice rovna své transpozici. Za zmínku také stojí, že každá symetrická matice je čtvercová a že hlavní úhlopříčka funguje jako osa symetrie.
Přečtěte si také:Sčítání a odčítání matic — jak vypočítat?
Abstrakt o symetrické matici
V symetrické matici, \(a_{ij}=a_{ji}\) pro všechna i a j.
Každá symetrická matice je čtvercová.
Každá symetrická matice se rovná své transpozici.
Prvky symetrické matice jsou symetrické podle hlavní diagonály.
Zatímco v symetrické matici \(a_{ij}=a_{ji}\) pro všechna i a j; v antisymetrické matici, \(a_{ij}=-a_{ji}\) pro všechna i a j.
Co je to symetrická matice?
Symetrická matice je čtvercová matice kde \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) pro každé i a každé j. Tohle znamená tamto \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)a tak dále pro všechny možné hodnoty i a j. Pamatujte, že možné hodnoty i odpovídají řádkům matice a možné hodnoty j odpovídají sloupcům matice.
Příklady symetrických matic
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Příklady nesymetrických matic (viz \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Důležité: Říci, že matice není symetrická, znamená to ukázat \(a_{ij}≠a_{ji}\) pro alespoň nějaké i a j (což můžeme vidět porovnáním předchozích příkladů). To se liší od konceptu antisymetrické matice, který uvidíme později.
Jaké jsou vlastnosti symetrické matice?
Každá symetrická matice je čtvercová
Všimněte si, že definice symetrické matice je založena na čtvercové matici. Každá symetrická matice má tedy stejný počet řádků jako počet sloupců.
Každá symetrická matice se rovná své transpozici
Je-li A matice, její transponováno (\(A^T\)) je definována jako matice, jejíž řádky jsou sloupce A a její sloupce jsou řádky A. Takže pokud A je symetrická matice, máme \(A=A^T\).
V symetrické matici se prvky „odrážejí“ vzhledem k hlavní diagonále
Tak jako \(a_{ij}=a_{ji}\) v symetrické matici jsou prvky nad hlavní diagonálou „odrazy“ prvků níže úhlopříčky (nebo naopak) vzhledem k úhlopříčce, takže hlavní úhlopříčka působí jako osa symetrie.
Jaké jsou rozdíly mezi symetrickou maticí a antisymetrickou maticí?
Je-li A symetrická matice, pak \(a_{ij}=a_{ji}\) pro všechna i a všechna j, jak jsme studovali. V případě antisymetrické matice je situace jiná. Pokud B je antisymetrická matice, pak \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) pro každé i a každé j.
Všimněte si, že to má za následek \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), to znamená, hlavní diagonální prvky jsou nulové. Důsledkem toho je, že transpozice antisymetrické matice je rovna jejímu opaku, to znamená, že pokud B je antisymetrická matice, pak \(B^T=-B\).
Příklady antisymetrických matic
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Viz také: Identitní matice — matice, ve které jsou hlavní diagonální prvky rovny 1 a zbývající prvky jsou rovny 0
Řešené úlohy na symetrické matici
Otázka 1
(Unicentro)
pokud matice \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) je symetrický, takže hodnota xy je:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Rozlišení:
Alternativa A
Pokud je daná matice symetrická, pak jsou prvky v symetrických pozicích stejné (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Proto musíme:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Výměna prvního rovnice ve druhém dojdeme k závěru, že \(y=3\), již brzy:
\(x=2\) to je \(xy=6\)
otázka 2
(UFSM) S vědomím, že matrice \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) se rovná jeho transpozici, hodnotě \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Rozlišení:
Alternativa C
Protože se daná matice rovná své transpozici, jedná se o symetrickou matici. Prvky v symetrických pozicích jsou tedy stejné (\(a_{ij}=a_{ji}\)), tj:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Podle první rovnice, x=-6 nebo x=6. Třetí rovnicí dostaneme správnou odpověď: x= -6. Podle druhé rovnice, y=11.
Již brzy:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
