Transponovaná matice: co to je, vlastnosti, příklady

THE transponovaná matice matice M je matice M.^t. jde o sídlo společnosti které dostaneme když přepíšeme matici M změnou polohy řádků a sloupců, transformující první řádek M do prvního sloupce M.^t, druhá řada M ve druhém sloupci M^t, a tak dále.

Pokud má matice M. m řádky a Ne sloupce, jeho transponovaná matice, tj. M^t, budu mít Ne řádky a m sloupce. Existují specifické vlastnosti pro transponovanou matici.

Přečtěte si také: Co je to trojúhelníková matice?

Jak se získá transponovaná matice?

Vzhledem k matici A_mxn, známe jako matici transponovanou z A do matice A^t_{n x m}. Chcete-li najít transponovanou matici, stačí změnit polohu řádků a sloupců matice A. Ať je první řádek matice A jakýkoli, bude to první sloupec transponované matice A^t, bude druhý řádek matice A druhým sloupcem matice A^t, a tak dále.

Algebraicky, nechť M = (m_ij)_mxn, transponovaná matice M je M.^t = (m_ji) _{n x m}.

Příklad:

Najděte matici transponovanou z matice:

Matice M je matice 3x5, takže její transpozice bude 5x3. Abychom našli transponovanou matici, uděláme první řádek matice M prvním sloupcem matice M^t.

instagram story viewer

Druhý řádek matice M bude druhým sloupcem transponované matice:

Nakonec se třetí řádek matice M stane třetím sloupcem matice M.^t:

symetrická matice

Na základě konceptu transponované matice je možné definovat, co je to symetrická matice. Matice je známá jako symetrická když se rovná vaší transponované matici, tj. vzhledem k matici M, M = M^t.

Aby se to stalo, matice musí být čtvercová, což znamená, že aby byla matice symetrická, musí se počet řádků rovnat počtu sloupců.

Příklad:

Když analyzujeme výrazy nad hlavní úhlopříčkou a výrazy pod hlavní úhlopříčkou matice S je možné vidět, že existují pojmy, které jsou stejné, což je známé jako symetrické přesně kvůli symetrii matice ve vztahu k hlavní úhlopříčce.

Pokud najdeme transpozici matice S, je možné ji vidět^t se rovná S.

Jako S = S^t, tato matice je symetrická.

Podívejte se také: Jak řešit lineární systémy?

Vlastnosti transponované matice

1. vlastnost: transpozice transponované matice se rovná matici samotné:

(M.^t)^t = M.

2. vlastnost: transpozice součtu mezi maticemi se rovná součtu transpozice každé z matic:

(M + N)^t = M.^t+ N^t

3. vlastnost: provedení násobení mezi dvěma maticemi se rovná násobení transpozice každé z matic:

(M · N)^t = M.^t · N^t

4. vlastnost: Ó určující matice se rovná determinantu transponované matice:

det (M) = det (M^t)

5. vlastnost: doba transpozice matice konstanta se rovná matici doba transpozice konstanta:

(kA)^t = kA^t

Inverzní matice

Koncept inverzní matice je zcela odlišný od konceptu transponované matice a je důležité zdůraznit rozdíl mezi nimi. Inverzní matice matice M je matice M.^-1, kde produkt mezi maticemi M a M.^-1 se rovná matici identity.

Příklad:

Chcete-li se dozvědět více o tomto typu matice, přečtěte si náš text: Inverzní matice.

opačná matice

Jako další případ speciální matice matice naproti matici M je matice -M. Známe ji jako opačnou matici M = (m_ij) matice -M = (-m_ij). Opačná matice se skládá z opačných členů matice M.