Prostudujte si řešená cvičení sinus, kosinus a tangens. Procvičte si a vyjasněte své pochybnosti pomocí komentovaných cvičení.
Otázka 1
Určete hodnoty x a y v následujícím trojúhelníku. Uvažujme sin 37º = 0,60, kosinus 37º = 0,79 a tan 37º = 0,75.
Odpověď: y = 10,2 ma x = 13,43 m
K určení y používáme sinus 37º, což je poměr protilehlé strany k přeponě. Stojí za to připomenout, že přepona je segment protilehlý úhlu 90º, takže má hodnotu 17 m.
K určení x můžeme použít kosinus 37º, což je poměr mezi stranou přiléhající k úhlu 37º a přeponou.
otázka 2
V následujícím pravoúhlém trojúhelníku určete hodnotu úhlu ve stupních a jeho sinus, kosinus a tangens.
Zvážit:
sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Odpověď: ,
V trojúhelníku je součet vnitřních úhlů roven 180°. Jako pravoúhlý trojúhelník má úhel 90º, takže pro oba úhly zbývá dalších 90º.
Tímto způsobem máme:
Protože jsou tyto úhly komplementární (z jednoho z nich, z druhého je to, kolik zbývá dokončit 90º), platí, že:
cos 62º = sin 28º = 0,47
a
sin 62º = cos 28º = 0,88
Výpočet tečny
Tangenta je poměr sinusu ke kosinusu.
otázka 3
V určitou dobu slunečného dne se stín domu promítá na 23 metrů. Tento zbytek tvoří 45º vzhledem k zemi. Tímto způsobem určete výšku domu.
Odpověď: Výška domu je 23m.
Pro určení výšky se znalostí úhlu sklonu použijeme tečnu úhlu 45°.
45° tečna se rovná 1.
Dům a stín na zemi jsou nohy pravoúhlého trojúhelníku.
Výška domu je tedy 23 m.
otázka 4
Geodet je profesionál, který využívá matematické a geometrické znalosti k měření a studiu povrchu. Pomocí teodolitu, nástroje, který mimo jiné měří úhly, umístěného na 37 metrů daleko od budovy našel úhel 60° mezi rovinou rovnoběžnou se zemí a výškou budovy budova. Pokud byl teodolit na stativu 180 cm od země, určete výšku budovy v metrech.
zvážit
Odpověď: Výška objektu je 65,81m.
Vytvořte náčrt situace, kterou máme:
Výšku budovy lze tedy určit pomocí tečny 60º z výšky, kde se nachází teodolit, přičemž k výsledku přičteme 180 cm nebo 1,8 m, protože je to výška od země.
60° tečna se rovná .
Výška od teodolitu
Celková výška
64,01 + 1,8 = 65,81 m
Výška budovy je 65,81 m.
otázka 5
Určete obvod pětiúhelníku.
Zvážit:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
tan 67° = 2,35
Odpověď: Obvod je 219,1 m.
Obvod je součtem stran pětiúhelníku. Jelikož se jedná o obdélníkovou část o rozměrech 80 m, je protější strana rovněž dlouhá 80 m.
Obvod je dán:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Bytost ten, rovnoběžně s modrou přerušovanou čarou můžeme určit její délku pomocí tečny 67°.
K určení hodnoty b použijeme kosinus 67°
Takže obvod je:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
otázka 6
Najděte sinus a kosinus 1110°.
Vzhledem k trigonometrické kružnici máme, že úplný obrat má 360°.
Když vydělíme 1110° 360°, dostaneme 3,0833.... To znamená 3 plné otáčky a trochu více.
Vezmeme-li 360° x 3 = 1080° a odečteme od 1110, máme:
1110° - 1080° = 30°
Považujeme-li směr proti směru hodinových ručiček za kladný, po třech úplných otáčkách se vrátíme na začátek, 1080° nebo 0°. Od tohoto bodu postoupíme o dalších 30°.
Takže sinus a kosinus 1110° se rovnají sinusu a kosinu 30°
otázka 7
(CEDERJ 2021) Při studiu trigonometrie Júlia zjistila, že sin² 72° se rovná
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Základní vztah trigonometrie říká, že:
Kde x je hodnota úhlu.
Vezmeme-li x = 72º a izolujeme sinus, máme:
otázka 8
Rampy jsou dobrým způsobem, jak zajistit dostupnost pro vozíčkáře a osoby se sníženou pohyblivostí. Přístupnost budov, mobiliáře, prostorů a městského vybavení je zaručena zákonem.
Brazilská asociace technických norem (ABNT) v souladu s brazilským zákonem o začleňování osob s Invalidita (13,146/2015), upravuje konstrukci a definuje sklon ramp, jakož i výpočty pro jejich konstrukce. Pokyny pro výpočet ABNT udávají maximální limit sklonu 8,33 % (poměr 1:12). To znamená, že rampa k překonání rozdílu 1 m musí být alespoň 12 m dlouhá a to definuje, že úhel sklonu rampy ve vztahu k horizontální rovině nemůže být větší než 7°.
Podle předchozích informací tak, že rampa o délce 14 m a sklonu 7º v ve vztahu k rovině, je v rámci norem ABNT, musí sloužit k překonání mezery o max. výšce
Použití: hřích 7. = 0,12; cos 7º = 0,99 a tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
Rampa tvoří pravoúhlý trojúhelník, jehož délka je 14 m, svírá úhel 7º ve vztahu k horizontále, kde výška je strana protilehlá úhlu.
Použití sinus 7°:
Výška, kterou musí rampa dosáhnout, je 1,68 m.
otázka 9
(Unesp 2012) Ve svažitém terénu se staví budova nemocnice. Pro optimalizaci stavby navrhl odpovědný architekt parkoviště v suterénu objektu s vjezdem ze zadní ulice pozemku. Recepce nemocnice je 5 metrů nad úrovní parkoviště, což vyžaduje vybudování rovné nájezdové rampy pro pacienty s pohybovými obtížemi. Obrázek schematicky znázorňuje tuto rampu (r), spojující bod A na podlaze recepce s bodem B na podlaze parkoviště, která musí mít minimální sklon α 30º a maximálně 45º.
Za těchto podmínek a zvážení , jaké by měly být maximální a minimální hodnoty v metrech délky této nájezdové rampy?
Odpověď: Délka nájezdové rampy bude minimálně 7 m a maximálně 10 m.
Projekt již počítá a stanovuje výšku na 5 m. Musíme vypočítat délku rampy, což je přepona pravoúhlého trojúhelníku, pro úhly 30° a 45°.
Pro výpočet jsme použili sinus úhlu, což je poměr mezi opačnou stranou, 5m, a přeponou r, což je délka rampy.
Pro pozoruhodné úhly 30° a 45° jsou sinusové hodnoty:
pro 30°
na 45°
racionalizace
Nahrazení hodnoty
otázka 10
(EPCAR 2020) V noci přelétá vrtulník brazilského letectva nad plochou oblastí a zpozoruje UAV (Air Vehicle Bezpilotní) kruhového tvaru a zanedbatelné výšky, s poloměrem 3 m, zaparkovaný rovnoběžně se zemí ve vzdálenosti 30 m od výška.
UAV je ve vzdálenosti y metrů od světlometu, který byl nainstalován na vrtulníku.
Paprsek světla z světlometu, který prochází UAV, dopadá na plochou oblast a vytváří kruhový stín se středem O a poloměrem R.
Poloměr R obvodu stínu svírá se světelným paprskem úhel 60º, jak je vidět na následujícím obrázku.
V tu chvíli osoba, která je v bodě A na obvodu stínu, běží do bodu O, stopu od kolmice nakreslené z reflektoru do oblasti roviny.
Vzdálenost v metrech, kterou tato osoba urazí z A do O, je číslo mezi nimi
a) 18 a 19
b) 19 a 20
c) 20 a 21
d) 22 a 23
objektivní
Určete délku segmentu , poloměr kruhu stínu.
Data
- Výška od O do UAV je 30 m.
- Poloměr UAV je 3 m.
Pomocí tečny 60° určíme část zvýrazněnou červeně na následujícím obrázku:
Uvažujme tečnu 60° = a tečna je poměr mezi stranou protilehlou úhlu a jeho přilehlou stranou, máme:
racionalizace
Délka AO je
blížící se hodnotě
Přibližné měření segmentu AO je 20,3 m, tedy hodnota mezi 20 a 21.
Studujte také s:
- Sinus, kosinus a tangens
- Cvičení trigonometrie v pravoúhlém trojúhelníku
- Cvičení trigonometrie
- Trigonometrie v pravém trojúhelníku
- Trigonometrie
- trigonometrické identity
- Cvičení o goniometrických poměrech
- Metrické vztahy v pravém trojúhelníku
- Trigonometrické vztahy
- úhly
- Trigonometrické poměry
- trigonometrická tabulka
- Goniometrické funkce
- Trigonometrický kruh
- Sinesův zákon
- Zákon kosinů
