THE Věta o vnitřní ose byla vyvinuta speciálně pro trojúhelníky a ukazuje, že když sledujeme vnitřní osičku úhlu trojúhelníku, bod setkání úsečky s protilehlou stranou rozděluje tuto stranu na úsečky úměrné sousedním stranám tohoto úhlu. S aplikací věty o vnitřní ose je možné určit hodnotu strany nebo segmentů trojúhelníku pomocí poměru mezi nimi.
Viz také: Medián, osa úhlu a výška trojúhelníku – jaký je rozdíl?
Shrnutí věty o vnitřní ose:
Osa je a paprsek který rozděluje úhel na dva shodné úhly.
Věta o vnitřní ose je specifická pro trojúhelníky.
Tato věta dokazuje, že osa rozděluje opačnou stranu na proporcionální segmenty na přilehlé strany úhel.
Video lekce o vnitřní větě osy
Co je věta sesměrnice?
Než pochopíme, co říká teorém vnitřní ose, je důležité vědět, co to je osy úhlu. Je to paprsek, který rozděluje úhel na dvě shodné části., tedy dvě části, které mají stejnou míru.
Když pochopíme, co je osa, všimneme si, že existuje ve vnitřním úhlu trojúhelníku. Když vymezíme sečnu úhlu trojúhelníku, rozdělí protilehlou stranu na dva segmenty. Pokud jde o vnitřní osu,
jeho věta říká, že dva úsečky jím dělené jsou úměrné sousedním stranám úhlu.
Všimněte si, že osa rozděluje stranu AC na dva segmenty, AD a DC. Ukazuje to věta o ose:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Vědět více: Pythagorova věta — další věta vyvinutá pro trojúhelníky
Důkaz věty o vnitřní ose
V trojúhelníku ABC níže vymezíme úsečku BD, která je sečnicí tohoto trojúhelníku. Dále budeme sledovat prodloužení jeho strany CB a segmentu AE, paralelně s BD:
Úhel AEB je shodný s úhlem DBC, protože CE je a rovný příčně k paralelním segmentům AE a BD.
použití Thalesova věta, došli jsme k závěru, že:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Teď my zbývá ukázat, že BE = AB.
Protože x je mírou úhlu ABD a DBC, při analýze úhlu ABE získáme:
ABE = 180 - 2x
Pokud je y mírou úhlu EAB, máme následující situaci:
Víme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku ABE je 180°, takže můžeme vypočítat:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Jestliže úhel x a úhel y mají stejnou velikost, trojúhelník ABE je rovnoramenný. Proto strana AB = AE.
Protože součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy roven 180°, v trojúhelníku ACE máme:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Protože y = x, trojúhelník ACE je rovnoramenný. Proto jsou segmenty AE a AC kongruentní. Výměna AE za AC vstup důvod, je prokázáno, že:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Příklad:
Najděte hodnotu x v následujícím trojúhelníku:
Analýzou trojúhelníku získáme následující poměr:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Křížové násobení:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Přečtěte si také: Pozoruhodné body trojúhelníku — jaké to jsou?
Řešená cvičení na větu o vnitřní půlce
Otázka 1
Při pohledu na trojúhelník níže můžeme říci, že hodnota x je:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Řešení:
Alternativa D
Aplikací vnitřní věty o ose dostaneme následující výpočet:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Křížové násobení:
\(27x=18\ \vlevo (30-x\vpravo)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
otázka 2
Analyzujte následující trojúhelník s vědomím, že vaše míry byly uvedeny v centimetrech.
Obvod trojúhelníku ABC je roven:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Řešení:
Alternativa C
Při použití věty o ose, nejprve zjistíme hodnotu x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Neznámé strany tedy měří:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Při vzpomínce na to, délka měřidla použitý byl cm, the obvod tohoto trojúhelníku se rovná:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm