Šestiúhelník to je polygon která má 6 stran. Je pravidelné, když jsou všechny strany a vnitřní úhly vzájemně shodné. Je nepravidelné, když tyto vlastnosti nemá. První případ je nejvíce studovaný, protože když je šestiúhelník pravidelný, má specifické vlastnosti a vzorce, které nám umožňují vypočítat jeho plochu, obvod a apotém.
Přečtěte si také: Co je to Losangle?
Abstrakt o šestiúhelníku
Šestiúhelník je 6stranný mnohoúhelník.
Je pravidelné, když jsou všechny strany shodné.
Je nepravidelný, když všechny strany nejsou shodné.
V pravidelném šestiúhelníku měří každý vnitřní úhel 120°.
Součet úhly vnější hrany pravidelného šestiúhelníku jsou vždy 360°.
Pro výpočet plochy pravidelného šestiúhelníku použijeme vzorec:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
Ó obvod šestiúhelníku je součet jeho stran. Když je to pravidelné, máme:
P = 6L
Apotém pravidelného šestiúhelníku se vypočítá podle vzorce:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Nepřestávej teď... Po reklamě je toho víc ;)
Co je šestiúhelník?
Šestiúhelník je jakýkoli mnohoúhelník má 6 stran, tedy 6 vrcholů a 6 úhlů
. Jelikož se jedná o mnohoúhelník, jedná se o uzavřený plochý obrazec se stranami, které se neprotínají. Šestiúhelník je v přírodě opakující se tvar, jako u plástů, ve strukturách organická chemie, v krunýřích některých želv a ve sněhových vločkách.Video lekce o mnohoúhelnících
šestiúhelníkové prvky
Šestiúhelník se skládá ze 6 stran, 6 vrcholů a 6 vnitřních úhlů.
Vrcholy: body A, B, C, D, E, F.
strany: segmenty \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Vnitřní úhly: úhly a, b, c, d, f.
Klasifikace šestiúhelníků
Šestiúhelníky, stejně jako ostatní mnohoúhelníky, lze klasifikovat dvěma způsoby.
pravidelný šestiúhelník
Šestiúhelník je pravidelný, když má všechny jeho shodné strany — v důsledku toho budou jejich úhly také shodné. Pravidelný šestiúhelník je nejdůležitější ze všech a je nejvíce studován. Je možné vypočítat několik jeho aspektů, jako je plocha, pomocí specifických vzorců.
Pozorování: Pravidelný šestiúhelník lze rozdělit na 6 rovnostranné trojúhelníky, tedy trojúhelníky se všemi stranami stejnými.
→ nepravidelný šestiúhelník
Nepravidelný šestiúhelník je ten, který má strany s různými opatřeními. Může být konvexní nebo nekonvexní.
konvexní nepravidelný šestiúhelník
šestiúhelník je konvexní když máte všechny vnitřní úhly menší než 180°.
→ Nepravidelný nekonvexní šestiúhelník
Šestiúhelník není konvexní, pokud ano vnitřní úhly větší než 180°.
vlastnosti šestiúhelníku
→ Počet úhlopříček v šestiúhelníku
První důležitá vlastnost je ta v konvexním šestiúhelníku je vždy 9 úhlopříček. Geometricky můžeme najít těchto 9 úhlopříček:
Můžeme také najít úhlopříčky algebraicky pomocí následujícího vzorce:
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
Pokud do rovnice dosadíme 6, máme:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Takže konvexní šestiúhelník bude mít vždy 9 úhlopříček.
Vědět více: Obdélníková bloková diagonála — segment spojující dva jeho vrcholy, které nejsou na stejné ploše
→ Vnitřní úhly šestiúhelníku
V šestiúhelníku, součet jeho vnitřních úhlů je 720°. Chcete-li provést tento součet, jednoduše dosaďte 6 do vzorce:
\(S_i=180\vlevo (n-2\vpravo)\)
\(S_i=180\vlevo (6-2\vpravo)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
V pravidelném šestiúhelníku budou vnitřní úhly vždy měřit každý 120°, protože
720°: 6 = 120°
→ Vnější úhly pravidelného šestiúhelníku
Pokud jde o vnější úhly, víme, že Jejich součet je vždy roven 360°. Protože existuje 6 vnějších úhlů, každý z nich bude měřit 60°, as
360°: 6 = 60°
→ Pravidelný šestiúhelníkový apotém
Za apotém pravidelného mnohoúhelníku se považujeúsečka spojující střed polygonu s střed na tvé straně. Jak víme, pravidelný šestiúhelník se skládá ze 6 rovnostranných trojúhelníků, takže apotém odpovídá výšce jednoho z těchto rovnostranných trojúhelníků. Hodnotu tohoto segmentu lze vypočítat podle vzorce:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ obvod šestiúhelníku
Chcete-li vypočítat obvod šestiúhelníku, jednoduše proveďte součet jeho 6 stran. Když je šestiúhelník pravidelný, jeho strany jsou shodné, takže je možné vypočítat obvod šestiúhelníku pomocí vzorce:
P = 6L
→ oblast pravidelného šestiúhelníku
Protože víme, že pravidelný šestiúhelník se skládá ze 6 rovnostranných trojúhelníků se stranami o rozměrech L, je možné odvodit vzorec pro výpočet jeho plochy pomocí výpočtu oblast jednoho trojúhelník rovnostranný vynásobený 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Všimněte si, že je možné zjednodušení dělení 2, generování vzorce pro výpočet plochy šestiúhelníku:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Šestiúhelník vepsaný do kruhu
Říkáme, že do a je vepsán mnohoúhelník obvod když on je uvnitř kruhu a jeho vrcholy jsou body tohoto kruhu. Můžeme znázornit pravidelný šestiúhelník vepsaný do kruhu. Když uděláme toto znázornění, je možné ověřit, že délka poloměru kružnice je rovna délce strany šestiúhelníku.
Také vědět: Kruh a obvod — jaký je rozdíl?
Šestiúhelník opsaný v kruhu
Říkáme, že mnohoúhelník je opsán kružnicí, když obvod je uvnitř tohoto mnohoúhelníku. Můžeme znázornit opsaný pravidelný šestiúhelník. V tomto případě je kružnice tečnou ke středu každé strany šestiúhelníku, díky čemuž je poloměr kruhu roven apotému šestiúhelníku.
šestihranný hranol
THE Rovinná geometrie je základem pro studium Prostorová geometrie. Ó šestiúhelník může být přítomen na základně geometrických těles, jako v hranolech.
Chcete-li zjistit objem a hranol, vypočítáme součin plochy základny a výšky. Protože jeho základna je šestiúhelník, jeho objem lze vypočítat podle:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Přečtěte si také: Objem geometrických těles — jak vypočítat?
Šestihranná základní pyramida
Kromě šestibokého hranolu, tam jsou také pyramidy šestihranná základna.
objevit objem pyramidy šestihranné základny vypočítáme součin plochy základny, výšky a vydělíme 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Všimněte si, že násobíme a dělíme třemi, což umožňuje a zjednodušení. Objem pyramidy na bázi šestiúhelníku se tedy vypočítá podle vzorce:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Řešené úlohy na šestiúhelník
Otázka 1
Země má tvar pravidelného šestiúhelníku. Tuto oblast chcete obklopit ostnatým drátem tak, aby drát obešel území 3krát. S vědomím, že na oplocení celého pozemku bylo vynaloženo celkem 810 metrů drátu, měří plocha tohoto šestiúhelníku přibližně:
(Použití \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Řešení:
Alternativa B
Obvod pravidelného šestiúhelníku je
\(P=6L\)
Vzhledem k tomu, že byla odjeta 3 kola, bylo na dokončení jednoho kola vynaloženo celkem 270 metrů, jak víme, že:
810: 3 = 270
Takže máme:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metrů\)
Když známe délku strany, vypočítáme plochu:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Zaokrouhlením získáme:
\(A\cca 5164 m^2\)
otázka 2
(PUC - RS) U mechanického převodu chcete vyrobit součást s pravidelným šestihranným tvarem. Vzdálenost mezi rovnoběžnými stranami je 1 cm, jak je znázorněno na obrázku níže. Strana tohoto šestiúhelníku měří ______ cm.
THE) \(\frac{1}{2}\)
b) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
C) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Řešení:
Alternativa B
Pokud jde o pravidelný šestiúhelník, víme, že jeho apotém je míra od středu ke středu jedné ze stran. Apotém je tedy poloviční vzdáleností uvedenou na obrázku. Takže musíme:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apotém se pak rovná \(\frac{1}{2}\). Mezi stranami šestiúhelníku a apotému existuje vztah, protože v pravidelném šestiúhelníku máme:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Protože známe hodnotu apotému, můžeme dosadit \(a=\frac{1}{2}\) v rovnici:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Racionalizace zlomku:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
