Faktorizace polynomy sestává z metod vyvinutých k přepsání polynomu jako součin mezi polynomy. Napište polynom jako násobení mezi dvěma nebo více faktory pomáhá při zjednodušení algebraických výrazů a pochopení polynomu.
Existují různé případy faktoringu a pro každý z nich existují specifické techniky.. Existující případy jsou: faktorizace společným faktorem v důkazu, faktorizace seskupením, rozdíl mezi dvěma čtverci, dokonalý čtverec trinom, součet dvou krychlí a rozdíl dvou krychlí.
Přečtěte si více:Co je to polynom?
Shrnutí faktoringových polynomů
Faktorizace polynomů jsou techniky používané k reprezentaci polynomu jako produktu mezi polynomy.
Tuto faktorizaci používáme pro zjednodušení algebraické výrazy.
-
Faktoringové případy jsou:
Faktoring podle společného faktoru v důkazech;
Faktoring podle seskupení;
dokonalý čtvercový trojčlen;
rozdíl dvou čtverců;
součet dvou kostek;
Rozdíl dvou kostek.
Případy polynomiálního faktoringu
Chcete-li rozložit polynom, je třeba analyzovat, ve kterém z factoringových případů situace sedí
, jsoucí: faktorizace společným faktorem v důkazu, faktorizace seskupením, rozdíl mezi dvěma čtverci, dokonalý čtvercový trinom, součet dvou krychlí a rozdíl dvou krychlí. Podívejme se, jak provést faktorizaci v každém z nich.Nepřestávej teď... Po reklamě je toho víc ;)
Společný faktor v důkazech
Tuto metodu faktorizace používáme, když existuje faktor společný všem členům polynomu. Tento společný faktor bude zvýrazněn jako jeden faktor a druhý faktor, výsledek divize výrazů tímto společným faktorem, budou umístěny v závorkách.
Příklad 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Při analýze každého členu tohoto polynomu je možné vidět, že x se opakuje ve všech členech. Také všechny koeficienty (20, 12 a 8) jsou násobky 4, takže faktor společný všem členům je 4x.
Vydělením každého termínu společným faktorem máme:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Nyní napíšeme faktorizaci uvedením společného faktoru do důkazu a součet z výsledků uvedených v závorkách:
4x (5 let + 3x + 2 roky²)
Příklad 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Při analýze doslovné části každého termínu je možné vidět, že a²b se ve všech opakuje. Všimněte si, že neexistuje žádné číslo, které by dělilo 2, 3 a – 4 současně. Společným faktorem tedy bude pouze a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Faktorizace tohoto polynomu tedy bude:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Viz také: Sčítání, odčítání a násobení polynomů — pochopte, jak se to dělá
seskupení
Tato metoda je používá se, když neexistuje společný faktor pro všechny členy polynomu. V tomto případě identifikujeme termíny, které lze seskupit se společným faktorem, a zvýrazníme je.
Příklad:
Faktor následující polynom:
ax + 4b + bx + 4a
Seskupíme členy, které mají a a b jako společný faktor:
ax + 4a + bx + 4b
Uvedeme-li a a b jako důkaz dvě na dvě, máme:
a(x+4)+b(x+4)
Všimněte si, že uvnitř závorek jsou faktory stejné, takže tento polynom můžeme přepsat jako:
(a + b) (x + 4)
dokonalý čtvercový trojčlen
Trinomy jsou polynomy se 3 členy. Polynom je známý jako dokonalý čtvercový trinom, když je výsledek na druhou nebo druhou mocninu rozdílu, to je:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Důležité: Ne pokaždé, když jsou tři členy, tento polynom bude dokonalým čtvercovým trinomem. Před provedením rozkladu je proto nutné ověřit, zda trinom v tomto případě sedí.
Příklad:
Faktor, pokud je to možné, polynom
x² + 10x + 25
Po analýze tohoto trinomu extrahujeme odmocnina první a poslední termín:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Je důležité ověřit, že centrální člen, tedy 10x, je roven \(2\cdot\ x\cdot5\). Všimněte si, že je to skutečně totéž. Jedná se tedy o dokonalý čtvercový trinom, který lze vynásobit:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
rozdíl dvou čtverců
Když máme rozdíl dvou čtverců, tento polynom můžeme faktorizovat tak, že jej přepíšeme jako součin součtu a rozdílu.
Příklad:
Faktor polynomu:
4x² – 36y²
Nejprve spočítáme druhou odmocninu každého z jeho členů:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Nyní přepíšeme tento polynom jako součin součtu a rozdílu nalezených kořenů:
4x² – 36y² = (2x + 6 let) (2x – 6 let)
Přečtěte si také: Algebraický výpočet zahrnující monočleny — zjistěte, jak k těmto čtyřem operacím dochází
součet dvou kostek
Součet dvou krychlí, tedy a³ + b³, lze zohlednit jako:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Příklad:
Faktor polynomu:
x³ + 8
Víme, že 8 = 2³, takže:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Rozdíl dvou kostek
Rozdíl dvou kostek, tedy a³ – b³, ne na rozdíl od součtu dvou krychlí, může být faktorizován jako:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Příklad:
Vylož polynom
8x³ - 27
Víme, že:
8x³ = (2x)³
27 = 3³
Takže musíme:
\(8x^3-27=\vlevo (2x-3\vpravo)\)
\(8x^3-27=\vlevo (2x-3\vpravo)\vlevo (4x^2+6x+9\vpravo)\)
Řešená cvičení na faktoring polynomů
Otázka 1
Použití polynomiální faktorizace ke zjednodušení algebraického výrazu \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), najdeme:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Rozlišení:
Alternativa D
Při pohledu na čitatel vidíme, že x² + 4x + 4 je případ dokonalého čtvercového trinomu a lze jej přepsat jako:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Čitatel x² – 4 je rozdíl dvou čtverců a lze jej přepsat jako:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Proto:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Všimněte si, že člen x + 2 se vyskytuje jak v čitateli, tak ve jmenovateli, takže jeho zjednodušení je dáno:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
otázka 2
(Unifil Institute) Vzhledem k tomu, že dvě čísla, x a y, jsou taková, že x + y = 9 a x² – y² = 27, je hodnota x rovna:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Rozlišení:
Alternativa C
Všimněte si, že x² – y² je rozdíl mezi dvěma čtverci a může být faktorizován jako součin součtu a rozdílu:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Víme, že x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Poté můžeme nastavit a soustava rovnic:
Přidání dvou řádků:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
