Prostudujte si 11 cvičení o násobení matic, vše s rozlišením krok za krokem, abyste mohli vyřešit své pochybnosti a uspěli u zkoušek a přijímacích zkoušek.
Otázka 1
Vzhledem k následujícím maticím zaškrtněte volbu, která označuje pouze možné produkty.
a) C.A, B.A, A.D.
b) D.B, D.C, A.D.
c) AC, D.A., C.D.
d) B.A., A.B., D.C
e) A.D., D.C., C.A.
Správná odpověď: c) AC, D.A, C.D
AC je možné, protože počet sloupců v A (1) se rovná počtu řádků v C (1).
D.A je možné, protože počet sloupců v D (2) se rovná počtu řádků v A (2).
C.D je možné, protože počet sloupců v C (3) se rovná počtu řádků v D (3).
otázka 2
Vytvořte matricový produkt A. B.
Nejprve musíme zkontrolovat, zda je možné provést násobení.
Protože A je matice 2x3 a B matice 3x2, je možné násobit, protože počet sloupců v A se rovná počtu řádků v B.
Zkontrolovali jsme rozměry matice vyplývající z násobení.
Volání výsledkové matice produktu A. B matice C, bude mít dva řádky a dva sloupce. Pamatujte, že výsledná matice produktu „dědí“ počet řádků z prvního a počet sloupců z druhého.
Matice C bude tedy typu 2x2. Sestavením obecné matice C máme:
C =
Pro výpočet c11 vynásobíme první řádek A pro první sloupec B, přidáním násobených výrazů.
c11 = 3,1 + (-2,0 + 1,4 = 3 + 0 + 4 = 7
Pro výpočet c12 vynásobíme první řádek A pro druhý sloupec B, přidáním násobených výrazů.
c12 = 3,3 + (-2).(-5) + 1,1 = 9 + 10 + 1 = 20
Pro výpočet c21 vynásobíme druhá řada A pro první sloupec B, sečtením násobených výrazů.
c21 = 1,1 + 5,0 + (-1),4 = 1 + 0 + (-4) = -3
Pro výpočet c22 vynásobíme druhá řada A pro druhý sloupec B, přidáním násobených výrazů.
c22 = 1,3 + 5,(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
Zápis matice C s jejími členy.
C =
otázka 3
Vyřešte maticovou rovnici a určete hodnoty x a y.
Ověřili jsme, že je možné matice před rovností vynásobit, jelikož jsou typu 2x2 a 2x1, tedy počet sloupců v prvním se rovná počtu řádků v druhém. Výsledkem je matice 2x1 na pravé straně rovnosti.
Vynásobíme řádek 1 první matice sloupcem 1 druhé matice a rovná se 3.
-1,x + 2,y = 3
-x + 2y = 3 (rovnice I)
Vynásobíme řádek 2 první matice sloupcem 1 druhé matice a rovná se -4.
4,x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (rovnice II)
Máme dvě rovnice a dvě neznámé a můžeme vyřešit soustavu k určení x a y.
Vynásobením obou stran rovnice I 4 a sečtením I + II dostaneme:
Dosazením y v rovnici I a vyřešením pro x máme:
Takže máme
otázka 4
Vzhledem k následujícímu lineárnímu systému přiřaďte maticovou rovnici.
Existují tři rovnice a tři neznámé.
Abychom k systému přiřadili maticovou rovnici, musíme napsat tři matice: koeficienty, neznámé a nezávislé členy.
Matice koeficientů
Neznámá matice
Matice nezávislých pojmů
maticová rovnice
Matice koeficientů. matice neznámých = matice nezávislých členů
otázka 5
(UDESC 2019)
Vzhledem k matrice 
a s vědomím, že A. B = C, takže hodnota x + y se rovná:
a) 1/10
b) 33
c) 47
d) 1/20
e) 11
Správná odpověď: c) 47
Abychom určili hodnoty x a y, řešíme maticovou rovnici získáním systému. Při řešení soustavy dostáváme hodnoty x a y.
Násobení matic:
Izolace x v rovnici I
Dosazení x v rovnici II
odpovídající jmenovatelům
Pro určení x dosadíme y do rovnice II
Tím pádem,
x + y = 19 + 18
x + y = 47
otázka 6
(FGV 2016) Vzhledem k matici 
a s vědomím, že matrice 
je inverzní matice matice A, můžeme usoudit, že matice X, která splňuje maticovou rovnici AX = B, má jako součet prvků číslo
a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16
Správná odpověď: b) 13
Jakákoli matice vynásobená její inverzní hodnotou se rovná matici identity In.
Vynásobením obou stran rovnice AX = B .
Tvorba produktu na pravé straně rovnice.
Jak je matice identity neutrálním prvkem maticového produktu
Součet jeho prvků je tedy:
10 + 3 = 13
otázka 7
Vzhledem k matici následující za maticí A vypočítejte její inverzní matici, pokud existuje.
A je invertibilní nebo invertibilní, pokud existuje čtvercová matice stejného řádu, která po vynásobení nebo vynásobení A vede k matici identity.
Máme v úmyslu identifikovat existenci nebo neexistenci matrice proč:
Protože A je čtvercová matice řádu 2, musí mít také objednávku 2.
Zapišme inverzní matici s jejími hodnotami jako neznámé.
Zápis maticové rovnice a řešení součinu.
Srovnání ekvivalentních členů na obou stranách rovnosti.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
Máme systém se čtyřmi rovnicemi a čtyřmi neznámými. V tomto případě můžeme systém rozdělit na dva. Každý se dvěma rovnicemi a dvěma neznámými.
řešení systému
Izolace a v první rovnici
Dosazení a ve druhé rovnici.
Výměna c
a systém:
Izolace b v první rovnici
Dosazení b ve druhé rovnici
Dosazením d určíme b.
Nahrazení určených hodnot v inverzní neznámé matici
Kontrola, zda je vypočítaná matice ve skutečnosti inverzní maticí A.
K tomu musíme provést násobení.
Proto jsou zlomky invertibilní.
otázka 8
(EsPCEx 2020) Buďte maticemi . Pokud AB=C, pak x+y+z se rovná
a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
Správná odpověď: e) 2.
K určení neznámých x, y a z musíme provést maticovou rovnici. Ve výsledku budeme mít lineární systém tří rovnic a tří neznámých. Při řešení soustavy určíme x, y a z.
Podle rovnosti matic máme:
Sčítání rovnic I a III
Takže x = -4/2 = -2
Dosazení x = -2 v rovnici I a izolace z.
Dosazením hodnot x a z v rovnici II.
Dosazením hodnot x a y v rovnici I máme:
Musíme tedy:
Proto je součet neznámých roven 2.
otázka 9
(PM-ES) O násobení matic si Fabiana napsala do sešitu následující věty:
To, co říká Fabiana, je správné:
a) pouze v I.
b) pouze ve II.
c) pouze ve III.
d) pouze v I. a III.
e) pouze v I a IV
Správná odpověď: e) pouze v I a IV
Matice je možné násobit pouze tehdy, když je počet sloupců v prvním roven počtu řádků v druhém.
Proto je již zrušena věta III.
Matice C bude mít počet řádků A a počet sloupců B.
Věty I a IV jsou tedy správné.
otázka 10
Je-li matice A, určete .
Krok 1: Určete .
Krok 2: Určete transponovanou matici .
Transponovanou matici A získáme uspořádaným prohozením řádků za sloupce.
Krok 3: Vyřešte matricový produkt .
Výsledkem maticového produktu je tedy:
otázka 11
(UNICAMP 2018) The a B reálná čísla taková, že matice splňuje rovnici
, o tom, co já je matice identity 2. řádu. Proto produkt ab je to stejné jako
a) -2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
Správná odpověď: a) -2.
Krok 1: Určete .
Krok 2: Určete a. THE.
Krok 3: Určete b. Já, kde já je matice identity.
Krok 4: Přidejte aA + bI.
Krok 5: Přiřaďte odpovídající výrazy.
Krok 6: Vyřešte soustavu izolací a v rovnici I.
Dosazování v rovnici II.
Nahrazení hodnoty b
Krok 7: proveďte násobení a.b.
dozvědět se víc o Maticové násobení.
Mohlo by vás zajímat:
Matrice - Cvičení
Matrice
Matice a determinanty
Typy matic