Vektor je zobrazení, které určuje velikost, směr a směr vektorové veličiny. Vektory jsou přímé segmenty orientované šipkou na jednom konci.
Vektory pojmenováváme písmenem a malou šipkou.
Vektory charakterizují vektorové veličiny, což jsou veličiny, které potřebují orientaci, tedy směr a směr. Některé příklady jsou: síla, rychlost, zrychlení a výchylka. Číselná hodnota nestačí, je potřeba popsat, kde tyto veličiny působí.
modul vektoru
Modul neboli intenzita vektoru je jeho číselná hodnota, za kterou následuje měrná jednotka velikosti, kterou představuje, například:
Modul označujeme mezi pruhy tak, že držíme šipku nebo pouze písmeno, bez pruhů a bez šipky.
Délka vektoru je úměrná modulu. Větší vektor představuje větší modul.
vektorový modul je 4 jednotky, zatímco vektor
jsou 2 jednotky.
Směr vektoru
Směr vektoru je sklon nosné čáry, na kterém je určen. Pro každý vektor existuje pouze jeden směr.
smysl pro vektor
Směr vektoru je znázorněn šipkou. Stejný směr může obsahovat dva směry, například nahoru nebo dolů a doleva nebo doprava.
Přijmeme-li směr jako kladný, opačný směr, záporný, je znázorněn se znaménkem mínus před symbolem vektoru.
Výsledný vektor
Výsledný vektor je výsledkem operací s vektory a je ekvivalentní množině vektorů. Je vhodné znát vektor, který představuje efekt vytvořený více než jedním vektorem.
Těleso může být například vystaveno soustavě sil a my chceme znát výsledek, který společně vytvoří na tomto tělese. Každá síla je reprezentována vektorem, ale výsledek může být reprezentován pouze jedním vektorem: výsledným vektorem.
Výsledný vektor, , horizontálního směru a směru doprava, je výsledkem sčítání a odečítání vektorů.
,
,
a
. Výsledný vektor ukazuje tendenci těla pohybovat se v této orientaci.
Vektory s vertikálním směrem mají stejnou velikost, tedy stejný modul. Protože mají opačný význam, navzájem se ruší. To ukazuje, že nedojde k žádnému pohybu přepravky ve vertikálním směru.
Při analýze vektorů a
, které mají stejný směr a opačné směry, uvědomíme si, že část síly "zůstává" vpravo, jako vektor
je větší než
, tedy modul z
je větší.
Pro určení výsledného vektoru provádíme operace sčítání a odečítání vektorů.
Sčítání a odčítání vektorů se stejným směrem
S rovné smysly, přidáme moduly a zachováme směr a směr.
Příklad:
Graficky umisťujeme vektory za sebou, aniž bychom měnili jejich moduly. Začátek jednoho se musí shodovat s koncem druhého.
Komutativní vlastnost sčítání je platná, protože pořadí nemění výsledek.
S opačné smysly, odečteme moduly a zachováme směr. Směr výsledného vektoru je směr vektoru s největším modulem.
Příklad:
vektor je zbytková část
, po stažení
.
Odečtení jednoho vektoru je ekvivalentní sčítání s opakem druhého.
Sčítání a odčítání kolmých vektorů
Abychom přidali dva vektory s kolmými směry, přesuneme vektory beze změny jejich modulu tak, aby začátek jednoho souhlasil s koncem druhého.
Výsledný vektor spojuje začátek prvního s koncem druhého.
Abychom určili velikost výsledného vektoru mezi dvěma kolmými vektory, porovnáme začátek těchto dvou vektorů.
Modul výsledného vektoru je určen Pythagorovou větou.
Sčítání a odčítání šikmých vektorů
Dva vektory jsou šikmé, když svírají úhel mezi svými směry jiný než 0°, 90° a 180°. Pro sčítání nebo odečítání šikmých vektorů se používají metody rovnoběžníku a polygonálních čar.
paralelogramová metoda
Chcete-li provést metodu nebo pravidlo rovnoběžníku mezi dvěma vektory a nakreslit výsledný vektor, postupujte takto:
Prvním krokem je umístit jejich počátky do stejného bodu a nakreslit čáry rovnoběžné s vektory, aby se vytvořil rovnoběžník.
Druhým je nakreslení diagonálního vektoru na rovnoběžník, mezi sjednocením vektorů a sjednocením rovnoběžných čar.
Tečkované čáry jsou rovnoběžné s vektory a vytvořený geometrický obrazec je rovnoběžník.
Výsledný vektor je čára spojující počátek vektorů s rovnoběžkami.
Ó modul výsledného vektoru se získává kosinovým zákonem.
Kde:
R je velikost výsledného vektoru;
a je vektorový modul ;
b je modul vektoru ;
je úhel vytvořený mezi směry vektorů.
Pro přidání dvojice vektorů se používá metoda rovnoběžníku. Pokud chcete přidat více než dva vektory, musíte je přidat dva po dvou. K vektoru vzniklému ze součtu prvních dvou přidáme třetí a tak dále.
Dalším způsobem, jak přidat více než dva vektory, je použít metodu polygonové čáry.
metoda polygonálních čar
K nalezení vektoru vzniklého přidáním vektorů se používá metoda polygonálních čar. Tato metoda je užitečná zejména při přidávání více než dvou vektorů, jako jsou například následující vektory ,
,
a
.
Abychom mohli použít tuto metodu, musíme seřadit vektory tak, aby se konec jednoho (šipka) shodoval se začátkem druhého. Je důležité zachovat modul, směr a směr.
Po uspořádání všech vektorů do tvaru polygonální čáry musíme obkreslit výsledný vektor, který jde od začátku prvního do konce posledního.
Je důležité, aby výsledný vektor uzavíral mnohoúhelník a jeho šipka se shodovala se šipkou v posledním vektoru.
Komutativní vlastnost je platná, protože pořadí, ve kterém umísťujeme vektory grafu, nemění výsledný vektor.
vektorový rozklad
Rozložit vektor znamená napsat složky, které tento vektor tvoří. Tyto složky jsou dalšími vektory.
Každý vektor lze zapsat jako složení jiných vektorů prostřednictvím vektorového součtu. Jinými slovy, můžeme napsat vektor jako součet dvou vektorů, které nazýváme komponenty.
Pomocí kartézského souřadnicového systému, s kolmými osami x a y, určíme složky vektoru.
vektor je výsledkem součtu vektorů mezi vektory složek.
a
.
vektor náklon
tvoří pravoúhlý trojúhelník s osou x. Pomocí trigonometrie tedy určíme moduly složkových vektorů.
Komponentní modul ax.
Komponentní modul ay.
vektorový modul se získává z Pythagorovy věty.
Příklad
Síla se provádí vytažením bloku ze země. Modulová síla 50 N je nakloněna o 30° od horizontály. Určete vodorovnou a svislou složku této síly.
Data:
Násobení reálného čísla vektorem
Vynásobením reálného čísla vektorem bude výsledkem nový vektor, který má následující vlastnosti:
- Stejný směr, pokud je reálné číslo nenulové;
- Stejný směr, pokud je reálné číslo kladné, a opačný směr, pokud je záporné;
- Modul bude součinem modulu reálného čísla a modulu vynásobeného vektoru.
Součin mezi reálným číslem a vektorem
Kde: je vektor vyplývající z násobení;
je skutečné číslo;
je vektor, který se násobí.
Příklad
Nechť reálné číslo n = 3 a vektor z modulu 2 je součin mezi nimi roven:
Výpočet modulu
Směr a směr budou stejné.
Cvičení 1
(Enem 2011) Třecí síla je síla, která závisí na kontaktu mezi tělesy. Může být definována jako protikladná síla k tendenci k posunu těles a vzniká v důsledku nepravidelností mezi dvěma povrchy, které jsou v kontaktu. Na obrázku šipky představují síly působící na tělo a zvětšená tečka představuje nepravidelnosti, které existují mezi dvěma povrchy.
Na obrázku jsou vektory, které představují síly, které způsobují posunutí a tření, v tomto pořadí:
) 
b) 
C) 
d) 
a) 
Správná odpověď: písmeno a) 
Šipky představují vektory sil, které působí při pohybu ve vodorovném směru, jsou to dvojice akce-reakce a mají opačné směry.
Svislé šipky představují působení síly tíhy a normálové síly, a protože jsou stejné, vzájemně se ruší bez pohybu ve vertikálním směru.
Cvičení 2
(UEFS 2011) Vektorový diagram na obrázku znázorňuje síly vyvíjené dvěma gumičkami na zub osoby podstupující ortodontickou léčbu.
Za předpokladu, že F = 10,0 N, sen45° = 0,7 a cos45° = 0,7, je intenzita síly, kterou působí elastika na zub, v N rovna
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Správná odpověď: c) 2√85
Intenzita síly působící na zub je získána pomocí kosinového zákona.
a a b se rovnají 10 N.
Faktorizace druhé odmocniny nám dává:
Intenzita výsledné síly působící gumičkami na zub je tedy .
Cvičení 3
(PUC RJ 2016) Síly F1, F2, F3 a F4 na obrázku svírají navzájem pravé úhly a jejich moduly jsou 1 N, 2 N, 3 N a 4 N.
Vypočítejte modul čisté síly v N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Správná odpověď: d) 2√ 2
K určení výsledného vektoru používáme metodu polygonální čáry. Za tímto účelem přeuspořádáme vektory tak, aby se konec jednoho shodoval se začátkem druhého, takto:
Pomocí souřadnicového systému s počátkem na začátku výsledného vektoru můžeme určit moduly jeho složek následovně:
Musíme tedy:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Velikost výsledného vektoru je určena Pythagorovou větou.
Proto je modul čisté síly roven .
dozvědět se víc o
- Vektory: sčítání, odčítání a rozklad.
- Vektorová množství
✖
