An polynomiální rovnice se vyznačuje tím, že má a polynom rovna nule. Lze jej charakterizovat stupněm polynomu a čím větší je tento stupeň, tím větší je stupeň obtížnosti hledání jeho řešení nebo kořene.
V této souvislosti je také důležité pochopit, co je základní věta algebry, která to říká každá polynomická rovnice má alespoň jedno komplexní řešení, jinými slovy: rovnice stupně jedna bude mít alespoň jedno řešení, rovnice stupně dva bude mít alespoň dvě řešení a tak dále.
Čtěte také: Jaké jsou třídy polynomů?
Co je to polynomická rovnice
Polynomiální rovnice je charakterizována tím, že má polynom rovný nule, tedy každý výraz typu P(x) = 0 je polynomická rovnice, kde P(x) je polynom. Níže je uveden obecný případ polynomiální rovnice a několik příkladů.
ZvažteNe, an-1, a n-2, …, The1, a0 a x reálná číslaa n je kladné celé číslo, následující výraz je polynomická rovnice stupně n.
- Příklad
Následující rovnice jsou polynomy.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - X2 + 4x + 3 = 0
Podobně jako polynomy mají i polynomické rovnice svůj stupeň. Chcete-li určit stupeň polynomické rovnice, stačí najít nejvyšší mocninu, jejíž koeficient je jiný než nula. Proto rovnice předchozích položek jsou, resp.
a) Rovnice je z čtvrtý stupeň:3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Rovnice je z střední škola:5X2 – 3 = 0.
c) Rovnice je z první stupeň:6X – 1 = 0.
d) Rovnice je z třetí stupeň: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
Jak vyřešit polynomickou rovnici?
Způsob řešení polynomické rovnice závisí na jejím stupni. Čím větší je stupeň rovnice, tím obtížnější je ji vyřešit. V tomto článku si ukážeme způsob řešení polynomických rovnic první stupeň, druhý stupeň a bisquare.
Polynomiální rovnice prvního stupně
Polynomiální rovnice prvního stupně je popsána a polynom 1. stupně. Můžeme tedy napsat rovnici prvního stupně obecně následovně.
Uvažujme dvě reálná čísla The a B s a ≠ 0 je následující výraz polynomickou rovnicí prvního stupně:
ax + b = 0
K vyřešení této rovnice musíme použít princip ekvivalence, tedy vše, co je provozováno na jedné straně rovnosti, musí být provozováno i na straně druhé. K určení řešení rovnice prvního stupně musíme izolovat neznámé. K tomu je prvním krokem odstranění B na levé straně rovnosti, a pak odčítatvesla b na obou stranách rovnosti.
sekera + b - B = 0 - B
sekera = - b
Všimněte si, že hodnota neznámé x není izolovaná, koeficient a je potřeba odstranit z levé strany rovnosti, a proto obě strany vydělme The.
- Příklad
Vyřešte rovnici 5x + 25 = 0.
K vyřešení problému musíme použít princip ekvivalence. Pro usnadnění procesu vynecháme zápis operace na levé straně rovnosti, protože ekvivalentní pak říci, že se chystáme „předat“ číslo na druhou stranu a změnit znaménko (inverzní operace).
Další informace o řešení tohoto typu rovnice získáte v našem textu: Rovnice prvního stupně s neznámou.
Polynomiální rovnice druhého stupně
Polynomiální rovnice druhého stupně má charakteristiku a polynom druhého stupně. Uvažujme tedy a, b a c reálná čísla s a ≠ 0. Rovnice druhého stupně je dána vztahem:
sekera2 + bx + c = 0
Vaše řešení lze určit pomocí metody bhaskara nebo faktoringem. Pokud se chcete o rovnicích tohoto typu dozvědět více, přečtěte si: Eqpůsobení sdruhý Grau.
→ Metoda Bhaskara
Pomocí Bhaskarovy metody jsou její kořeny dány následujícím vzorcem:
- Příklad
Najděte řešení rovnice x2 – 3x + 2 = 0.
Všimněte si, že koeficienty rovnice jsou a = 1, b = – 3 a c = 2. Nahrazením těchto hodnot ve vzorci musíme:
→ Faktorizace
Podívejte se, že je možné faktorovat výraz x2 – 3x + 2 = 0 pomocí myšlenky polynomiální faktorizace.
X2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Všimněte si nyní, že máme součin roven nule a součin se rovná nule pouze v případě, že se jeden z faktorů rovná nule, takže musíme:
x – 2 = 0
x = 2
nebo
x - 1 = 0
x = 1
Podívejte se, že jsme našli řešení rovnice pomocí dvou různých metod.
bi-kvadrát rovnice
THE bisquare rovnice je to a konkrétní případ polynomické rovnice čtvrtého stupně, normálně by rovnice čtvrtého stupně byla zapsána ve tvaru:
sekera4 + bx3 + krabice2 + dx + e = 0
kde jsou čísla abeceda a a jsou skutečné s ≠ 0. Rovnice čtvrtého stupně se považuje za dvojkvadrátovou, když koeficienty b = d = 0, to znamená, že rovnice je ve tvaru:
sekera4 + krabice2 + a = 0
Podívejte se na níže uvedený příklad, jak vyřešit tuto rovnici.
- Příklad
Vyřešte rovnici x4 – 10x2 + 9 = 0.
K vyřešení rovnice použijeme následující neznámou změnu, a kdykoli je rovnice dvojkvadrátová, provedeme tuto změnu.
X2 =p
Z bi-kvadrát rovnice si všimněte, že x4 = (x2)2 a proto musíme:
X4 – 10x2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
pro2 – 10p + 9 = 0
Podívejte se, že nyní máme polynomickou rovnici druhého stupně a můžeme použít Bhaskarovu metodu, jako je tato:
Musíme si však pamatovat, že na začátku cvičení byla provedena neznámá změna, takže musíme použít hodnotu nalezenou v substituci.
X2 =p
Pro p = 9 máme, že:
X2 = 9
x = 3
nebo
x‘‘ = – 3
Pro p = 1
X2 = 1
x = 1
nebo
x‘‘ = – 1
Proto sada řešení bisquare rovnice je:
S = {3, –3, 1, –1}
Přečtěte si také: Praktický prostředek Briot-Ruffiniho – dělení polynomů
Základní věta algebry (TFA)
Základní věta algebry (TFA), dokázaná Gaussem v roce 1799, uvádí, že každá následující polynomiální rovnice má alespoň jeden komplexní kořen.
Kořenem polynomické rovnice je její řešení, to znamená, že neznámá hodnota je tím, co dělá rovnost pravdivou. Například rovnice prvního stupně má kořen již určený, stejně jako rovnice druhého stupně, která má alespoň dva kořeny, a bisquare, která má alespoň čtyři kořeny.
řešená cvičení
Otázka 1 – Určete hodnotu x, která činí rovnost pravdivou.
2x – 8 = 3x + 7
Řešení
Všimněte si, že k vyřešení rovnice je nutné ji uspořádat, to znamená ponechat všechny neznámé na levé straně rovnosti.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Principem ekvivalence můžeme obě strany rovnosti vynásobit stejným číslem, a protože chceme najít hodnotu x, vynásobíme obě strany –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
otázka 2 – Marcos má o 20 R$ více než João. Společně se jim podaří koupit dva páry tenisek, každý pár stojí 80 R$ a nezbývají žádné peníze. Kolik realů má John?
Řešení
Předpokládejme, že Mark má x reálů, zatímco John má o 20 reálů více, má tedy x + 20.
Marks → x reals
João → (x + 20) real
jak koupili dva páry tenisek který stojí každý 80 realů, takže když složíme části každého z nich dohromady, budeme muset:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Mark měl tedy 70 reálů a João 90 reálů.
od Robsona Luize
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm