Newtonův binomický je libovolný binomický signál zvýšený na číslo Ne o tom, co Ne je to přirozené číslo. Díky studiu fyziky Isaac Newton o mocnostech dvojčlenů to bylo možné zkontrolujte zákonitosti, které usnadňují reprezentaci polynomu generované ze síly dvojčlenu.
Při dodržení těchto pravidel bylo také možné najít pouze jednu z podmínek polynomiální, aniž by bylo nutné vše vypočítat, pomocí vzorce obecného pojmu binomia. Newton si navíc všiml vztahu mezi kombinatorická analýzaa Newtonovy dvojčleny, co způsobilo Pascalův trojúhelník skvělý nástroj pro praktičtější vývoj Newtonova binomia.
Přečtěte si také: Briot-Ruffiniho zařízení - metoda dělení polynomů
Definice Newtonova binomia
Definujeme jako binomicképolynom, který má dva členy. V některých aplikacích v matematice a fyzice je nutné vypočítat mocniny dvojčlenu. Pro usnadnění procesu Isaac Newton si všiml důležitých pravidelností které nám umožňují najít polynom, který je výsledkem síly dvojčlenu.
V některých případech je výpočet poměrně jednoduchý: stačí provést multiplikace binomického čísla pomocí distribuční vlastnosti. Až do potence řádu 3 se vyvíjíme bez většího úsilí, protože jsou dobře známé pozoruhodné produkty, ale pro vyšší mocnosti počítat z násobení samotného termínu Ne někdy je to hodně práce.
Příklady
Nezapomeňte, že každé číslo zvednuté na nulu se rovná 1 a každé číslo zvednuté na 1 je samo o sobě, což platí i pro binomické číslice.
Newton si všiml vztah mezi koeficienty každého z výrazů a kombinací, který umožňoval výpočet výkonu binomia přímo z následujícího vzorce:
Pochopení vzorce:
Nejprve se podívejme na doslovnou část každého výrazu, což je písmeno s jeho exponentem. Všimněte si, že pro každý termín je exponentem “a “se snižovalo, počínaje n, poté přechodem na n - 1 atd., dokud nebylo 1 v předposledním členu a 0 v posledním členu (což znamená, že písmeno„ a “se v posledním členu ani neobjevilo).
identifikace The a jeho exponenty:
Nyní analyzujme exponenty „b“, které se vždy zvyšují, počínaje 0 v prvním členu ( což způsobí, že se písmeno b neobjeví v prvním členu), 1 ve druhém členu atd., dokud nebude stejné The Nev posledním semestru.
identifikace B a jeho exponenty:
Pochopení doslovné části, pojďme analyzovat koeficienty, což jsou všechny kombinace Ne prvky převzaté z 0 na 0, 1 na 1, 2 na 2 atd. až do posledního členu, což je kombinace Ne prvky převzaty z Ne v Ne.
Je pozoruhodné, že je důležité zvládnout výpočet kombinace být schopen najít koeficienty. Nezapomeňte, že pro výpočet kombinací musíme:
Kombinovaná odpověď je vždy a přirozené číslo.
Podívejte se také: Polynomiální dělení: jak to vyřešit?
Příklad: Vypočítejte Newtonovu binomii (a + b) na čtvrtou mocninu.
1. krok: napište polynom pomocí vzorce.
2. krok: vypočítat kombinace.
Nahrazením kombinací bude nalezený polynom:
Vidíte, že řešení takových případů je stále namáhavé v závislosti na exponentu, ale i tak je to rychlejší než výpočet pomocí distribuční vlastnosti. Nástroj, který může při tomto výpočtu pomoci, je Pascalov trojúhelník.
Pascalův trojúhelník
Pascalův trojúhelník vyvinul Blaise Pascal během studia kombinací. On je způsob, který usnadňuje výpočet kombinací. Použití Pascalova trojúhelníku zrychluje a usnadňuje hledání koeficientů doslovných částí Newtonova binomia, aniž by bylo nutné počítat všechny kombinace.
Pro přímou konstrukci Pascalova trojúhelníku si připomeňme dvě situace, kdy je kombinační výpočet roven 1.
První a poslední člen všech řádků se tedy vždy rovná 1. Centrální termíny jsou sestaveny ze součtu termínu nad ním a jeho souseda z předchozího sloupce, jak je znázorněno níže:
Chcete-li vytvořit další řádky, nezapomeňte, že první člen je 1 a také poslední. Pak stačí udělat částky, abyste objevili ústřední pojmy.
Také přístup: Věta o polynomiálním rozkladu
Příklad: Vypočítejte (a + b) na šestou mocninu.
1. krok: použít vzorec dvojčlenu.
2. krok: zkonstruujte Pascalův trojúhelník až do 6. řádku.
3. krok: nahraďte kombinace hodnotami v řádku 6, což jsou koeficienty každé z podmínek dvojčlenu.
To, co určuje počet řádků, které budeme stavět z dvojčlenu, je hodnota n. Je důležité si uvědomit, že první řádek je nula.
Newtonův binomický obecný termín
Newtonův obecný termín binomický je vzorec, který nám umožňuje vypočítat termín binomického, aniž bychom museli vyvinout celý polynom, tj. Můžeme identifikovat některý z výrazů od prvního do posledního. Pomocí vzorce přímo vypočítáme hledaný výraz.
: první termín
B: druhé období
n: exponent
p + 1: hledaný výraz
Příklad: Najděte 11. člen dvojčlenu (a + b)12.
Řešení:
Podívejte se také: Demonstrace přes algebraického počtu
vyřešená cvičení
Otázka 1 - (Cesgranrio) Koeficient x4 v polynomu P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Řešení
Chceme najít konkrétní termín při řešení dvojčlenu; za to musíme najít hodnotu p.
Víme, že první člen se v tomto případě rovná x, takže n - p = 4, jako n = 6, máme:
Proto je koeficient 60 (alternativa B).
Otázka 2 - (Unifor) Je-li centrální člen binomického vývoje (4x + ky)10 pro 8064x5y5, pak alternativa, která odpovídá hodnotě k, bude:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Řešení: Víme, že centrální člen má stejné koeficienty (p = 5). Najdeme 6. termín, protože p + 1 = 6. Kromě toho máme a = 4x; b = ky an = 10, takže:
Alternativa D.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
