Polynomiální funkce: co to je, příklady, grafy

Funkce se nazývá polynomiální funkce, když její zákon formace je a polynomiální. Polynomiální funkce jsou klasifikovány podle stupně jejich polynomu. Například pokud má polynom, který popisuje zákon formování funkce, stupeň dva, řekneme, že se jedná o polynomiální funkci druhého stupně.

Pro výpočet numerické hodnoty polynomické funkce stačí nahraďte proměnnou požadovanou hodnotou, přeměňující polynom na numerický výraz. Při studiu polynomiálních funkcí je grafické znázornění zcela opakující se. Polynomiální funkce 1. stupně má graf vždy rovný přímce. Funkce 2. stupně má graf rovnající se parabole.

Přečtěte si také: Jaké jsou rozdíly mezi rovnicí a funkcí?

Co je to polynomiální funkce?

Graf funkce.

Funkce F: R → R je známá jako polynomiální funkce, když její zákon formace je polynom:

f (x) = a_NeX^Ne +_n-1X^n-1 +_n-2X^n-2 +... +₂X² +₁x + a₀

O tom, co:

x → je proměnná.

n → je a přirozené číslo.

The_Ne, a_n-1, a_n-2,…₂, The₁ a₀ → jsou koeficienty.

Koeficienty jsou reálná čísla které doprovázejí polynomickou proměnnou.

Příklady:

• F(x) = x⁵ + 3x⁴ - 3x³ + x² - x + 1

• F(x) = -2x³ + x - 7

• F(x) = x⁹

Jak určit typ polynomiální funkce?

Existuje několik typů polynomiálních funkcí. Je klasifikovány podle stupně polynomu. Když je stupeň 1, pak je funkce známá jako polynomiální funkce stupně 1 nebo polynomiální funkce 1. stupně, nebo také afinní funkce. Níže naleznete příklady funkcí od stupně 1 do stupně 6.

Podívejte se také: Co je funkce injektoru?

stupeň polynomiální funkce

To, co definuje stupeň funkce polynomu, je stupeň polynomu, tak můžeme mít polynomiální funkci libovolného stupně.

• Polynomiální funkce stupně 1

Aby polynomická funkce byla buď polynomem stupně 1 nebo 1. stupně, zákon formování funkce musí být F(x) = sekera + b, přičemž a a b jsou reálná čísla a a 0. THE polynomiální funkce stupně 1 je také známá jako afinní funkce.

Příklady:

• F(x) = 2x - 3

• F(x) = -x + 4

• F(x) = -3x

• Polynomiální funkce stupně 2

Aby polynomiální funkcí byl 2. stupeň polynomu nebo 2. stupeň polynomu, znaménko zákon o formování funkce musí býtF(x) = ax² + bx + c, přičemž a, bac jsou reálná čísla a ≠ 0. Jeden Polynomiální funkce 2. stupně to může také být známé jako kvadratická funkce.

Příklady:

• F(x) = 2x² - 3x + 1

• F(x) = - x² + 2x

• F(x) = 3x² + 4

• F(x) = x²

• Polynomiální funkce stupně 3

Aby polynomická funkce byla 3. nebo 3. stupeň polynomu, znaménko zákon o formování funkce musí býtF(x) = ax³ + bx² + cx + d, přičemž a a b jsou reálná čísla a a 0. Funkci stupně 3 lze také nazvat kubickou funkcí.

Příklady:

• F(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1

• F(x) = -5x³ + 4x² + 2x

• F(x) = 3x³ + 8x - 4

• F(x) = -7x³

• Polynomiální funkce stupně 4

Jak pro polynomiální funkci stupně 4, tak pro ostatní je uvažování stejné.

Příklady:

• F(x) = 2x⁴ + x³ - 5x² + 2x + 1

• F(x) = x⁴ + 2x³ - x

• F(x) = x⁴

• Polynomiální funkce stupně 5

Příklady:

• F(x) = x⁵ - 2x⁴ + x³ - 3x² + x + 9

• F(x) = 3x⁵ + x³ – 4

• F(x) = -x⁵

• Polynomiální funkce stupně 6

Příklady:

• F(x) = 2x⁶ - 7x⁵ + x⁴ - 5x³ + x² + 2x - 1

• F(x) = -x⁶ + 3x⁵ + 2x³ + 4x + 8

• F(x) = 3x⁶ + 2x² + 5x

• F(x) = x⁶

Číselná hodnota funkce

Znát zákon o formování role F(x), pro výpočet číselné hodnoty obsazení pro hodnotu Ne, stačí vypočítat hodnotu F(Ne). Proto, nahradili jsme proměnnou ve formačním zákoně.

Příklad:

vzhledem k funkci F(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, najdeme číselnou hodnotu funkce pro x = 2.

Chcete-li zjistit hodnotu F(x) když x = 2, uděláme to F(2).

F(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 12 – 10 + 4
F(2) = 20 – 10 + 4
F(2) = 10 + 4
F(2) = 14

Můžeme říci, že obraz funkce nebo číselná hodnota funkce, když x = 2, se rovná 14.

Podívejte se také: Inverzní funkce - skládá se z inverzní funkce f (x)

Polynomiální funkční grafy

Zastupovat v Kartézské letadlo funkce, kterou na ose x reprezentujeme, hodnoty x a obraz F(x), body v rovině. Body na kartézské rovině jsou typu (Ne, F(Ne)).

Příklad 1:

• F(x) = 2x - 1

Graf funkce 1. stupně je vždy a rovný.

Příklad 2:

• F(x) = x² - 2x - 1

Funkční graf 2. stupně je vždy a podobenství.

Příklad 3:

• F(x) = x³ - x

Graf funkce 3. stupně je známý jako kubický.

Rovnost polynomů

Aby byly dva polynomy stejné, je nutné, aby při provádění Srovnání mezi vy vaše podmínky, koeficienty jsou stejné.

Příklad:

Vzhledem k následujícím polynomům p (x) a g (x) a při vědomí, že p (x) = g (x) najděte hodnotu a, b, c a d.

p (x) = 2x³ + 5x² + 3x - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d

Protože polynomy jsou stejné, máme to:

ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c - 2) x = 3x
d = -4

Všimněte si, že již máme hodnotu d, protože d = -4. Nyní při výpočtu každého z koeficientů musíme:

ax³ = 2x³
a = 2

Známe-li hodnotu a, najdeme hodnotu b:

(a + b) x² = 5x²
a + b = 5

a = 2

2 + b = 5
b = 5-2
b = 3

Zjištění hodnoty c:

(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5

Podívejte se také: Polynomiální rovnice - Rovnice charakterizovaná polynomem rovným 0

Polynomiální operace

Vzhledem ke dvěma polynomům je možné provádět operace sčítání, odčítání a násobení mezi těmito algebraickými výrazy.

• Přidání

Přidání dvou polynomů se vypočítá pomocí součet vyrpodobné ruce. Aby byly dva výrazy podobné, musí být doslovná část (písmeno s exponentem) stejná.

Příklad:

Nechť p (x) = 3x² + 4x + 5 a q (x) = 4x² - 3x + 2, vypočítáme hodnotu p (x) + q (x).

3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2

Zvýraznění podobných výrazů:

3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2

Nyní přidejme koeficienty podobných výrazů:

(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7

• Polynomiální odčítání

Odečtení je velmi podobné sčítání, ale před provedením operace píšeme opačný polynom.

Příklad:

Data: p (x) = 2x² + 4x + 3 a q (x) = 5x² - 2x + 1, vypočítat p (x) - q (x).

Opačný polynom q (x) je -q (x), což není nic jiného než polynom q (x) s opakem každého z termínů.

q (x) = 5x² - 2x + 1

-q (x) = -5x² + 2x - 1

Vypočítáme tedy:

2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1

Zjednodušení podobných pojmů máme:

(2 - 5) x² + (4 + 2) x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2

• Polynomiální násobení

Násobení polynomu vyžaduje aplikace distribučního majetku, to znamená, vynásobíme každý člen prvního polynomu každým členem druhého členu.

Příklad:

(x + 1) · (x² + 2x - 2)

Při použití distribučního majetku musíme:

x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)

X³ + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2

x³ + 3x² - 4

• polynomiální dělení

Pro výpočet rozdělení mezi dva polynomy, používáme stejnou metodu, kterou používáme pro výpočet dělení dvou čísel, metodu kláves.

Příklad:

Vypočítejte p (x): q (x) s vědomím, že p (x) = 15x² + 11x + 2 a q (x) = 3x + 1.

Přečtěte si také: Šikovné zařízení Briot-Ruffini - další metoda pro výpočet rozdělení polynomů

Cvičení vyřešena

Otázka 1 - Denní výrobní náklady automobilového průmyslu na výrobu určitého množství dílů jsou dány zákonem o formování F(x) = 25x + 100, kde x je počet kusů vyrobených v daný den. S vědomím, že v daný den bylo vyrobeno 80 kusů, byly výrobní náklady těchto kusů:

A) 300 BRL

B) BRL 2100

C) BRL 2000

D) 1800 BRL

E) BRL 1250

Řešení

Alternativa B

F(80) = 25 · 80 + 100
F(80) = 2000 + 100
F(80) = 2100

Otázka 2 - Stupeň funkce h (x) = F(X) · G(x), s vědomím toho F (x) = 2x² + 5x a G(x) = 4x - 5, je:

DO 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Řešení

Alternativa C.

Nejprve najdeme polynom, který je výsledkem násobení mezi F(X a G(X):

F(X) · G(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
F(X) · G(x) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x

Všimněte si, že se jedná o polynom stupně 3, takže stupeň funkce h (x) je 3.

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm