THE geometrický průměr spolu s aritmetickým průměrem a harmonickým průměrem byly vyvinuty Pythagorovskou školou. Na statistický je docela běžné hledat reprezentace datové sady jedinou hodnotou pro rozhodování. Jednou z možností centrální hodnoty je geometrický průměr.
Je to užitečné pro představení množiny, která má data, která se chovají blízko k geometrický průběh, také najít stranu náměstí a krychle, přičemž zná oblast a objem. Geometrický průměr se také použije v situace kumulace procentního zvýšení nebo snížení. Pro výpočet geometrického průměru množiny n hodnot vypočítáme ntý kořen součinu prvků, to znamená, že pokud má množina například tři členy, vynásobíme tyto tři a vypočítáme kubický kořen produktu.
Geometrický střední vzorec
Geometrický průměr se používá k nalezení a průměrná hodnota mezi množinou dat. Pro výpočet geometrického průměru je nutná sada se dvěma nebo více prvky. Nechť A je datová sada A = (x
1, X2, X3,... XNe), množina s n prvky, geometrický průměr této množiny se vypočítá podle:
Přečtěte si také: Disperzní opatření: amplituda a odchylka
Výpočet geometrického průměru
Nechť A = {3,12,16,36}, jaký bude geometrický průměr této množiny?
Řešení:
Pro výpočet geometrického průměru spočítáme nejprve počet členů v množině, v případě n = 4. Musíme tedy:
Metoda 1: Provádění násobení.
Protože ne vždy máme k dispozici kalkulačku k provádění násobení, je možné provést výpočet na základě faktorizace a přirozené číslo.
Metoda 2: Faktorizace.
Pomocí faktorizací musíme:
Aplikace geometrického průměru
Geometrický průměr lze použít na jakýkoli statistický datový soubor, ale obvykle je zaměstnán v geometrie, k porovnání stran hranolů a krychlí stejného objemu nebo čtverců a obdélníků stejné oblasti. K dispozici je také aplikace v finanční matematické problémy které zahrnují kumulovanou procentní sazbu, tj. procento pod procentem. Kromě toho, že je nejvhodnějším prostředkem pro data, která se chovají jako geometrická posloupnost.
Příklad 1: Aplikace v procentech.
Produkt po dobu tří měsíců zaznamenal postupný nárůst, první činil 20%, druhý 10% a třetí 25%. Jaký byl průměrný procentní nárůst na konci tohoto období?
Řešení
Produkt původně stál 100%, v prvním měsíci začal stát 120%, což je v desítkové formě psáno jako 1.2. Tato úvaha bude stejná pro tři přírůstky, takže chceme geometrický průměr mezi: 1,2; 1,1; a 1.25.
Nárůst je v průměru o 18,2% měsíčně.
Podívejte se také: Procentní výpočet s pravidlem tří
Příklad 2: Aplikace v geometrii.
Jaká by měla být hodnota x v obrázku, protože věděli, že čtverec a obdélník pak mají stejnou plochu?
Řešení:
Chcete-li zjistit hodnotu x strany čtverce, vypočítáme geometrický průměr mezi stranami obdélníku.
Proto je strana čtverce 12 cm.
Příklad 3: Geometrický průběh.
Jaké jsou termíny P.G. s vědomím, že předchůdce centrální hodnoty je x, střední hodnota je 10 a nástupce centrální hodnoty je 4x.
Řešení:
Známe podmínky P.G. (x, 10,4x) a víme, že geometrický průměr mezi nástupcem a předchůdcem se rovná centrálnímu termínu P.G., takže musíme:
Rozdíl mezi geometrickým průměrem a aritmetickým průměrem
Ve statistikách je způsob, jakým se data chovají, velmi důležitý pro výběr jedné hodnoty, která ji bude reprezentovat. Proto existují typy centrálních opatření a existují typy médií.
Při výběru průměru, který se má použít, je třeba vzít v úvahu soubor dat, na kterém pracujeme. Jak je vidět v příkladu, pokud se jedná o data, která se chovají blízko geometrické progrese a mají nejvíce exponenciální růst, doporučuje se geometrický průměr.
V jiných situacích většinou používáme aritmetický průměrnapříklad průměrná hmotnost jednotlivce v průběhu roku. Při porovnání výpočtu dvou typů průměrů pro stejný soubor dat bude geometrický vždy menší než aritmetika.
Když porovnáme vzorec aritmetického průměru s vzorcem geometrického průměru, všimneme si rozdílu, protože první se počítá podle součet rozdělených podmínekThe o výši podmínek, zatímco druhá, jak jsme viděli, se počítá podle n-té odmocniny produktu všech výrazů.
Příklad 4: Vzhledem k množině (3, 9, 27, 81, 243) si uvědomte, že se jedná o P.G. poměru 3, protože od prvního do druhého členu vynásobíme třemi, také od druhého k třetímu členu atd. Při hledání centrální hodnoty, která by představovala tuto množinu, by v ideálním případě mělo jít o centrální člen postupu, který se stane, když vypočítáme geometrický průměr. Při výpočtu aritmetického průměru však větší hodnoty způsobí, že hodnota tohoto průměru bude příliš vysoká ve vztahu k termíny množiny a čím větší hodnota, tím dále od reprezentace centrálního termínu bude aritmetický průměr.
Řešení:
1. aritmetický průměr
2. geometrický průměr
Také přístup: Móda, průměr a mediána - opatření ústřednosti
Cvičení vyřešena
Otázka 1 - Cena benzínu v Brazílii prošla v posledních měsících velkým nárůstem. Měsíční přírůstky za poslední 4 měsíce byly 9%, 15%, 25% a 16%. Jaký byl průměrný procentní nárůst v tomto období?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Řešení
Alternativa A
Otázka 2 - Hranol s obdélníkovou základnou má stejný objem jako krychle. S vědomím, že rozměry hranolu jsou 6 cm dlouhé, 20 cm vysoké a 25 cm široké, jaká je hodnota strany krychle v centimetrech?
Řešení:
Alternativa D
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm