Nerovnost 1. a 2. stupně: řešení a cvičení

Nerovnice je matematická věta, která má alespoň jednu neznámou hodnotu (neznámou) a představuje nerovnost.

V nerovnostech používáme symboly:

• > větší než
• ≥ větší nebo rovno
• ≤ menší nebo rovno

Příklady

a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Nerovnost prvního stupně

Nerovnost má 1. stupeň, když se největší exponent neznáma rovná 1. Mohou mít následující formy:

• sekera + b> 0
• sekera + b
• ax + b ≥ 0
• ax + b ≤ 0

Bytost The a B reálná čísla a The ≠ 0

Řešení nerovnosti prvního stupně.

Abychom takovou nerovnost vyřešili, můžeme to udělat stejně jako v rovnicích.

Musíme však být opatrní, když se neznámé stane negativním.

V tomto případě musíme vynásobit (-1) a invertovat symbol nerovnosti.

Příklady

a) Vyřešte nerovnost 3x + 19

Abychom vyřešili nerovnost, musíme izolovat x a předat 19 a 3 na druhou stranu nerovnosti.

Pamatujte, že při změně strany musíme změnit operaci. 19, které přidávalo, tedy projde snižováním a 3, které se množí, projde dělením.

3xxx

b) Jak vyřešit nerovnost 15 - 7x ≥ 2x - 30?

Když jsou na obou stranách nerovnosti algebraické členy (x), musíme je spojit na stejné straně.

Tímto způsobem se u čísel, která mění strany, změnilo jejich znaménko.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30-15
- 9x ≥ - 45

Nyní vynásobme celou nerovnost (-1). Za tímto účelem změníme znaménko všech výrazů:

9x ≤ 45 (všimněte si, že invertujeme symbol ≥ na ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Řešení této nerovnosti proto je x ≤ 5.

Rozlišení pomocí grafu nerovnosti

Dalším způsobem, jak vyřešit nerovnost, je nakreslit ji na kartézské rovině.

V grafu studujeme známku nerovnosti určením, které hodnoty jsou X proměňte nerovnost ve skutečnou větu.

Chcete-li vyřešit nerovnost pomocí této metody, musíme postupovat podle následujících kroků:

1) Umístěte všechny podmínky nerovnosti na stejnou stranu.
2º) Nahraďte znaménko nerovnosti znakem rovnosti.
3.) Vyřešte rovnici, tj. Najděte její kořen.
4.) Prostudujte znaménko rovnice a určete hodnoty X které představují řešení nerovnosti.

Příklad

Vyřešte nerovnost 3x + 19

Nejprve napíšeme nerovnost se všemi výrazy na jedné straně nerovnosti:

3x + 19 - 40 3x - 21

Tento výraz naznačuje, že řešením nerovnosti jsou hodnoty x, které činí nerovnost zápornou (

Najděte kořen rovnice 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (kořen rovnice)

Představte v kartézské rovině dvojice bodů nalezených při nahrazování hodnot v X v rovnici. Graf tohoto typu rovnice je a rovný.

Zjistili jsme, že hodnoty

Nerovnost druhého stupně

Nerovnost je 2. stupně, když se největší exponent neznáma rovná 2. Mohou mít následující formy:

• sekera² + bx + c> 0
• sekera² + bx + c
• sekera² + bx + c ≥ 0
• sekera² + bx + c ≤ 0

Bytost The, B a C reálná čísla a The ≠ 0

Můžeme tento typ nerovnosti vyřešit pomocí grafu představujícího rovnici 2. stupně pro studium znaménka, stejně jako u nerovnosti 1. stupně.

Pamatujte, že v tomto případě bude grafika a podobenství.

Příklad

Vyřešit nerovnost x² - 4x - 4

K vyřešení nerovnosti druhého stupně je nutné najít hodnoty, jejichž výraz se nachází na levé straně znaménka

Nejprve identifikujte koeficienty:

a = 1
b = - 1
c = - 6

Používáme bhaskara vzorec (Δ = b² - 4ac) a dosadíme hodnoty koeficientů:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Pokračováním Bhaskarova vzorce jsme opět nahradili hodnotami našich koeficientů:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

X₁ = (1 + 5)/ 2
X₁ = 6 / 2
X₁ = 3

X₂ = (1 - 5) / 2
X₁ = - 4 / 2
X₁ = - 2

Kořeny rovnice jsou -2 a 3. jako Therovnice 2. stupně je kladná, její graf bude mít konkávnost směřující nahoru.

Z grafu zjistíme, že hodnoty, které splňují nerovnost, jsou: - 2

Řešení můžeme označit pomocí následujícího zápisu:

Přečtěte si také:

• Rovnice prvního stupně
• Rovnice druhého stupně
• Rovnicové systémy

Cvičení

1. (FUVEST 2008) Na základě lékařského doporučení musí osoba po krátkou dobu dodržovat dietu, která zaručuje denní minimum 7 miligramů vitaminu A a 60 mikrogramů vitaminu D, krmených výhradně speciálním jogurtem a směsí obilovin, umístěných v balíčky.

Každý litr jogurtu poskytuje 1 miligram vitaminu A a 20 mikrogramů vitaminu D. Každé balení cereálií obsahuje 3 miligramy vitaminu A a 15 mikrogramů vitaminu D.

Konzumací x litrů jogurtu a balíčků obilovin denně bude mít člověk jistotu, že bude dodržovat dietu, pokud:

a) x + 3y ≥ 7 a 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 a 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 a 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 a 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 a 3x + 20y ≥ 60

Viz odpověď

Alternativa k: x + 3y ≥ 7 a 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Město obsluhují dvě telefonní společnosti. Společnost X účtuje měsíční předplatné ve výši 35,00 R $ plus 0,50 R $ za použitou minutu. Společnost Y si účtuje za měsíc předplatné ve výši 26,00 R plus 0,50 R za minutu. Po kolika minutách používání bude plán společnosti X pro zákazníky výhodnější než plán společnosti Y?

Viz odpověď

26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35 - 26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60

Od 60 minut je plán společnosti X výhodnější.