Součet vnitřních a vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku

Vy konvexní polygony jsou ty, které nemají konkávnost. Abychom zjistili, zda je mnohoúhelník konvexní, nebo ne, musíme sledovat, zda žádný přímkový segment s konci na obrázku neprochází vnější oblastí.

V konvexních polygonech existují vzorce, které vám umožňují určit součet vnitřních a vnějších úhlů. Překontrolovat!

Součet vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku

Vzorec součet vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku s n stranami je:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Demonstrace:

Podíváme-li se, uvidíme, že každý konvexní mnohoúhelník lze rozdělit na určitý počet trojúhelníků. Podívejte se na několik příkladů:

Pamatuji si tedy, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy rovna 180 °, vidíme, že součet vnitřních úhlů na těchto obrázcích výše bude dán počtem trojúhelníků, které lze na obrázku rozdělit krát 180 °:

čtyřúhelník: 2 trojúhelníky ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Pentagon: 3 trojúhelníky ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Šestiúhelník: 4 trojúhelníky ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Abychom tedy dostali vzorec pro výpočet součtu vnitřních úhlů konvexního polygonu, musíme obecně vědět, na kolik trojúhelníků lze konvexní polygon rozdělit.

instagram story viewer

Pokud pozorujeme, existuje vztah mezi touto veličinou a počtem stran čísel. Počet trojúhelníků se rovná počtu stran obrázku minus 2, tj.:

$\ dpi {120} \ mathrm {Celkem \, z \, tri \ hat {a} úhly = n - 2}$

Čtyřúhelník: 4 strany ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Pentagon: 5 stran ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Šestiúhelník: 6 stran ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Obecně je tedy součet vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku dán vztahem: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Což je vzorec, který jsme chtěli předvést.

Příklad:

Najděte součet vnitřních úhlů konvexního ikosagonu.

Ikosagon je 20stranný mnohoúhelník, tj. N = 20. Nahraďme tuto hodnotu ve vzorci:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Proto je součet vnitřních úhlů konvexního ikosagonu roven 3240 °.

Součet vnějších úhlů mnohoúhelníku

THE součet vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku se vždy rovná 360 °, to znamená:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Demonstrace:

Podívejte se na některé bezplatné kurzy

Bezplatný online kurz inkluzivního vzdělávání
Zdarma online knihovna hraček a výukové kurzy
Bezplatný online kurz předškolních matematických her
Bezplatný online kurz Pedagogické kulturní semináře

Na příkladech si ukážeme, že součet vnějších úhlů konvexního polygonu nezávisí na počtu stran obrázku a vždy se rovná 360 °.

Čtyřúhelník:

čtyřúhelník Všimněte si, že každý vnitřní úhel tvoří úhel 180 ° s vnějším úhlem. Protože existují čtyři vrcholy, součet všech úhlů je dán 4. 180° = 720°.

Tj: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Již brzy:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Jednou $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , pak:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentagon:

V pětiúhelníku máme 5 vrcholů, takže součet všech úhlů je dán 5. 180° = 900°. Již brzy: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Pak: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Jednou $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , pak: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Šestiúhelník:

V šestiúhelníku máme 6 vrcholů, takže součet všech úhlů je dán 6. 180° = 1080°. Již brzy: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Pak: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Jednou $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , pak: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Jak vidíte, ve všech třech příkladech je součet vnějších úhlů, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , vyústil v 360 °.

Příklad:

Součet vnitřního a vnějšího úhlu mnohoúhelníku se rovná 1800 °. Co je to polygon?

My máme: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . S vědomím, že v jakémkoli polygonu $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , pak máme: