Úhel mezi dvěma vektory

V matematice nebo fyzice je vektory oni jsou rovné segmenty se směrem, směrem a délkou, které se používají k vyjádření veličin, jako je síla, rychlost a zrychlení.

Vektory označují trajektorie a lze je definovat pomocí souřadnicového systému (x, y). Vzhledem k bodu (0,0) jako počátku segmentu je na následujícím obrázku znázorněn vektor. $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ jehož konec je bod $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Notace: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

vysvěcen $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ se nazývá vodorovná složka a úsečka $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , svislé složky.

Nyní zvažte kromě vektoru $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , další vektor $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ a úhel mezi nimi vytvořený, jak je znázorněno na obrázku níže.

Tento úhel mezi vektory lze vypočítat podle vzorce, který zahrnuje bodový součin mezi vektory a normou (délkou) každého vektoru.

Úhel mezi dvěma vektory

Dvě vektorové kostky $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ a $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ kosinus úhlu $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ mezi nimi souvisí s interním produktem mezi vektory a jejich standardy takto:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Čitatel zlomku je vnitřní produkt mezi vektory, daný:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

A jmenovatel je součin mezi standardy každého z vektorů, a to následovně:

Podívejte se na některé bezplatné kurzy

Bezplatný online kurz inkluzivního vzdělávání

instagram story viewer

Zdarma online knihovna hraček a výukové kurzy
Bezplatný online kurz matematických her ve vzdělávání v raném dětství
Bezplatný online kurz Pedagogické kulturní workshopy

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Provedením výměny jsme ověřili, že vzorec úhlu mezi dvěma vektory é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Příklad:

Vypočítejte úhel mezi vektory $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ a $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Při použití hodnot ve vzorci musíme:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}$

Pomocí kalkulačky nebo a trigonometrická tabulka, můžeme vidět, že:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32,47 ^ {\ circ}}$

Také by vás mohlo zajímat:

Luky s více než jednou zatáčkou
Oblouky a kruhový pohyb
trigonometrický kruh
rychlost vozidla

Heslo bylo zasláno na váš e-mail.

Úhel mezi dvěma vektory

Úhel mezi dvěma vektory

Paraná hydrografická pánev

Co byl apartheid v Jižní Africe?

Kdo byl Franklin Roosevelt?