THE kosinový zákon je trigonometrický vztah používá se pro spojování stran a úhly na jednom trojúhelník jakýkoli, tj. ten trojúhelník, který nemusí nutně mít pravý úhel. Všimněte si následujícího trojúhelníku ABC se zvýrazněnými míry:
THE zákonZkosiny lze zadat jedním z následujících způsobů výrazy:
The2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
B2 =2 + c2 - 2 · a · c · cosβ
C2 = b2 +2 - 2 · b · a · cosθ
Pozorování: Není nutné si tyto tři vzorce pamatovat. Jen vězte, že zákonZkosiny lze vždy postavit. V prvním výrazu si všimněte, že α je úhel naproti straně, jejíž míra je dána The. Vzorec začneme čtvercem na opačné straně úhlu, který bude použit ve výpočtech. Bude se rovnat součtu čtverců ostatních dvou stran, minus dvojnásobek součinu dvou stran, které nejsou proti tomuto úhlu kosinus α.
Tímto způsobem lze tři výše uvedené vzorce snížit na:
The2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
Pokud víme, že „„ je měření na opačné straně „α“ a že „b“ a „c“ jsou měření ostatních dvou stran trojúhelník.
Demonstrace
Vzhledem k trojúhelník Libovolný ABC s opatřeními zvýrazněnými na následujícím obrázku:
Vezměme si trojúhelníky ABD a BCD tvořené výškou BD trojúhelníku ABC. Za použití Pythagorova věta v ABD budeme mít:
C2 = x2 + h2
H2 = c2 - X2
Použití stejné věty pro trojúhelník BCD, budeme mít:
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
The2 = y2 + h2
H2 =2 - y2
S vědomím, že existuje2 = c2 - X2, budeme mít:
C2 - X2 =2 - y2
C2 - X2 + y2 =2
The2 = c2 - X2 + y2
Poznámka na obrázku trojúhelník kde b = x + y, kde y = b - x. Nahrazením této hodnoty ve výsledku získaném dříve budeme mít:
The2 = c2 - X2 + y2
The2 = c2 - X2 + (b - x)2
The2 = c2 - X2 + b2 - 2bx + x2
The2 = c2 + b2 - 2 bx
Stále se dívejte na obrázek a všimněte si, že:
cosα = X
C
c · cosα = x
x = c · cosα
Dosazením tohoto výsledku do předchozího výrazu budeme mít:
The2 = c2 + b2 - 2 bx
The2 = c2 + b2 - 2b · c · cosα
Toto je přesně první ze tří výše uvedených výrazů. Další dva lze získat analogicky k tomuto.
Příklad - Na trojúhelník pak vypočítat míru x.
Řešení:
Za použití zákonZkosinyVšimněte si, že x je měření strany naproti úhlu 60 °. První „číslo“, které se v řešení objeví, by proto mělo být:
X2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
X2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °
X2 = 200 - 200 · cos60 °
X2 = 200 – 200·1
2
X2 = 200 – 100
X2 = 100
x = ± √ 100
x = ± 10
Protože neexistují žádné záporné délky, výsledkem by měla být pouze kladná hodnota, tj. X = 10 cm.
Luiz Moreira
Vystudoval matematiku
Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. „Co je kosinový zákon?“; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Zpřístupněno 27. června 2021.
