Co jsou to komplexní čísla?

Do poloviny 16. století byly rovnice jako x² - 6x + 10 = 0 byly jednoduše považovány za „žádné řešení“. Důvodem bylo, že podle Bhaskarova vzorce bude při řešení této rovnice nalezený výsledek:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Problém byl nalezen v √– 4, které nemá řešení v rámci množiny reálných čísel, tj. Ne existuje reálné číslo, které vynásobí samo o sobě výnosy √– 4, protože 2 · 2 = 4 a (–2) (- 2) = 4.

V roce 1572 byl Rafael Bombelli zaneprázdněn řešením rovnice x³ - 15x - 4 = 0 podle Cardanova vzorce. Prostřednictvím tohoto vzorce se dospělo k závěru, že tato rovnice nemá skutečné kořeny, protože je nakonec nutné vypočítat √– 121. Po několika pokusech je však možné zjistit, že 4³ - 15 · 4 - 4 = 0, a proto x = 4 je kořenem této rovnice.

Vzhledem k existenci skutečných kořenů, které nebyly vyjádřeny Cardanovým vzorcem, měl Bombelli myšlenku předpokládat že √– 121 by mělo za následek √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 a to by mohl být „nereálný“ kořen rovnice studoval. √– 121 by tedy byla součástí nového typu čísla, které tvoří další nepůvodní kořeny této rovnice. Takže rovnice x

³ - 15x - 4 = 0, který má tři kořeny, bude mít x = 4 jako skutečný kořen a další dva kořeny patřící tomuto novému typu čísla.

Na konci 18. století pojmenoval Gauss tato čísla jako komplexní čísla. V té době už měla podobu komplexní čísla a + bi, s i = √– 1. Dále The a B byly již považovány za body karteziánské roviny, známé jako rovina Argand-Gauss. Komplexní číslo Z = a + bi tedy mělo jako geometrické vyjádření bod P (a, b) karteziánské roviny.

Proto výraz „komplexní čísla”Začal být používán v odkazu na číselnou množinu, jejíž zástupci jsou: Z = a + bi, s i = √– 1 a s The a B náležející do množiny reálných čísel. Tato reprezentace se nazývá algebraická forma komplexního čísla Z.

Protože komplexní čísla jsou tvořena dvěma reálnými čísly a jedno z nich je vynásobeno √– 1, těmto reálným číslům bylo přiděleno zvláštní jméno. Když vezmeme v úvahu komplexní číslo Z = a + bi, a je „skutečná část Z“ ab je „imaginární část Z“. Matematicky můžeme napsat: Re (Z) = a a Im (Z) = b.

Myšlenka modulu komplexního čísla je krystalizována analogicky k myšlence modulu reálného čísla. Když vezmeme v úvahu bod P (a, b) jako geometrické vyjádření komplexního čísla Z = a + bi, vzdálenost mezi bodem P a bodem (0,0) je dána vztahem:

| Z | = √(The² + b²)

Druhým způsobem, jak reprezentovat komplexní čísla, je Polární nebo trigonometrická forma. Tato forma ve své konstituci používá modul komplexního čísla. Komplexní číslo Z, algebraicky Z = a + bi, lze reprezentovat polárním tvarem pomocí:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Je zajímavé si všimnout, že kartézská rovina je definována dvěma ortogonálními čarami, známými jako osy xay. Víme, že reálná čísla mohou být reprezentována přímkou, na které jsou umístěna všechna racionální čísla. Zbývající mezery jsou vyplněny iracionálními čísly. Zatímco skutečná čísla jsou na řádku známém jako Osa X. z karteziánské roviny by všechny ostatní body patřící k této rovině byly rozdílem mezi komplexními čísly a reálnými čísly. Sada reálných čísel je tedy obsažena v sadě komplexních čísel.

Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm