Jedna z technik používaných k řešení kvadratické rovnice je metoda známá jako kompletní čtverce. Tato metoda spočívá v interpretaci souboru rovnice z druhýstupeň jako perfektní čtvercový trinomial a napište svůj zapracovaný formulář. Někdy tento jednoduchý postup odhalí kořeny rovnice.
Proto je nutné mít základní znalosti o pozoruhodné produkty, trinomiálnínáměstíPerfektní a polynomiální faktorizace používat tuto techniku. Často však umožňuje provádět výpočty „do hlavy“.
Proto si připomeneme tři případy produktypozoruhodný před demonstrací metodadokončitčtverce, které pak budou vystaveny ve třech různých případech.
Vynikající produkty a dokonalé čtvercové trinomály
Dále se podívejte na pozoruhodný produkt, trinomiálnínáměstíPerfektní což je ekvivalentní tomu a tvaru započteno této trinomiální, resp. Zvažte, že x je neznámé a The je jakékoli skutečné číslo.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Rovnice druhého stupně s odkazem na třetí produktpozoruhodný
, známý jako produkt součtu a rozdílu, lze vyřešit pomocí techniky, která ještě více usnadňuje výpočty. V důsledku toho zde nebude brán zřetel.Rovnice je dokonalá čtvercová trinomie
Pokud jeden rovnice z druhýstupeň je dokonalý čtvercový trinomiál, pak můžete identifikovat jeho koeficienty jako: a = 1, b = 2k nebo - 2k a c = k2. Chcete-li to zkontrolovat, jednoduše porovnejte kvadratickou rovnici s a trinomiálnínáměstíPerfektní.
Proto při řešení rovnice z druhýstupeň X2 + 2kx + k2 = 0, vždy budeme mít možnost dělat:
X2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Řešení je tedy jedinečné a rovno –k.
Li rovnice být x2 - 2kx + k2 = 0, můžeme udělat totéž:
X2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Proto je řešení jedinečné a rovno k.
Příklad: Jaké jsou kořeny rovnice X2 + 16x + 64 = 0?
Všimněte si, že rovnice je a trinomiálnínáměstíPerfektní, protože 2k = 16, kde k = 8, a k2 = 64, kde k = 8. Můžeme tedy napsat:
X2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Zde byl výsledek zjednodušen, protože již víme, že obě řešení se budou rovnat stejnému reálnému číslu.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Rovnice není dokonalým čtvercovým trojčlenem
V případech, kdy rovnice z druhýstupeň není dokonalý kvadratický trojúhelník, můžeme k výpočtu jeho výsledků zvážit následující hypotézu:
X2 + 2kx + C = 0
Všimněte si, že se tato rovnice změní na a trinomiálnínáměstíPerfektní, stačí nahradit hodnotu C hodnotou k2. Jelikož se jedná o rovnici, jediný způsob, jak to udělat, je přidat k2 na obou prutech, poté vyměňte koeficient prutu C. Hodinky:
X2 + 2kx + C = 0
X2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Po tomto postupu můžeme pokračovat předchozí technikou, transformací trinomiálnínáměstíPerfektní do pozoruhodného součinu a výpočtu druhé odmocniny na obou končetinách.
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
Znaménko ± se objeví vždy, když je výsledek a rovnice je druhá odmocnina, protože v těchto případech je druhá odmocnina výsledkem a modul, jak je znázorněno v prvním příkladu. Nakonec zbývá jen udělat:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Takže tyto rovnice mít dva výsledky nemovitý a zřetelný, nebo žádný skutečný výsledek, když C> k2.
Například, vypočítat kořeny x2 + 6x + 8 = 0.
Řešení: Všimněte si, že 6 = 2 · 3x. Proto k = 3 a tedy k2 = 9. Proto je číslo, které musíme přidat u obou členů, rovno 9:
X2 + 6x + 8 = 0
X2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
X2 + 6x + 9 = 9 - 8
X2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ‘= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
V takovém případě je koeficient a ≠ 1
když koeficient The, dává rovnice z druhýstupeň, se liší od 1, vydělte celou rovnici číselnou hodnotou koeficientu The poté použít jednu ze dvou předchozích metod.
Takže v rovnici 2x2 + 32x + 128 = 0, máme jedinečný kořen rovný 8, protože:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
X2 + 16x + 64 = 0
A v rovnici 3x2 + 18x + 24 = 0, máme kořeny - 2 a - 4, protože:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
X2 + 6x + 8 = 0
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku
