Při studiu komplexních čísel narazíme na následující rovnost: i2 = – 1.
Odůvodnění této rovnosti je obvykle spojeno s řešením rovnic 2. stupně se zápornými odmocninami, což je chyba. Původ výrazu i2 = - 1 se objevuje v definici komplexních čísel, což je další problém, který také vyvolává velké pochybnosti. Pojďme pochopit důvod takové rovnosti a to, jak vzniká.
Nejprve pojďme udělat několik definic.
1. Uspořádaná dvojice reálných čísel (x, y) se nazývá komplexní číslo.
2. Složitá čísla (x1y1) a (x2y2) jsou stejné právě tehdy, když x1 = x2 a y1 = y2.
3. Sčítání a násobení komplexních čísel je definováno:
(X1y1) + (x.)2y2) = (x.)1 + x2y1 + y2)
(X1y1)*(X2y2) = (x.)1*X2 - y1* y2, X1* y2 + y1*X2)
Příklad 1. Zvažte z1 = (3, 4) a z2 = (2, 5), vypočítat z1 + z2 a z1* z2.
Řešení:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Pomocí třetí definice je snadné ukázat, že:
(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0) * (x2, 0) = (x1*X2, 0)
Tyto rovnosti ukazují, že s ohledem na operace sčítání a násobení se komplexní čísla (x, y) chovají jako reálná čísla. V této souvislosti můžeme navázat následující vztah: (x, 0) = x.
Pomocí tohoto vztahu a symbolu i k reprezentaci komplexního čísla (0, 1) můžeme napsat libovolné komplexní číslo (x, y) následovně:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → což je normální forma volání komplexního čísla.
Komplexní číslo (3, 4) v normální formě se tak stává 3 + 4i.
Příklad 2. Napište následující komplexní čísla v normální formě.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Nyní si všimněte, že voláme i komplexní číslo (0, 1). Podívejme se, co se stane při vytváření i2.
Víme, že i = (0, 1) a že i2 = i * i. Postupujte podle toho:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Pomocí definice 3 budeme mít:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Jak jsme viděli dříve, každé komplexní číslo tvaru (x, 0) = x. Tím pádem,
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Dorazili jsme ke slavné rovnosti i2 = – 1.
Autor: Marcelo Rigonatto
Specialista na statistiku a matematické modelování
Tým brazilské školy
Složitá čísla - Matematika - Brazilská škola
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm