D'Alembertova věta

D'Alembertova věta je bezprostředním důsledkem zbytkové věty, které se zabývají dělením polynomu dvojčlenem typu x - a. Věta o zbytku říká, že polynom G (x) dělený binomií x - a bude mít zbytek R rovný P (a), pro
x = a. Francouzský matematik D'Alembert s přihlédnutím k výše uvedené větě dokázal, že polynom libovolné Q (x) bude dělitelné x - a, to znamená, že zbytek dělení bude roven nule (R = 0), pokud P (a) = 0.
Tato věta usnadnila výpočet rozdělení polynomu na binomické (x –a), takže není nutné řešit celé dělení, abychom věděli, zda je zbytek roven nebo odlišný od nuly.
Příklad 1
Vypočítejte zbytek dělení (x² + 3x - 10): (x - 3).
Jak říká D'Alembertova věta, zbytek (R) této divize se bude rovnat:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R.
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Takže zbytek této divize bude 8.
Příklad 2
Zkontrolujte, zda x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 je dělitelné x - 1.
Podle D’Alemberta je polynom dělitelný binomem, pokud P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3-4
P (1) = - 1

Protože P (1) je nenulová, polynom nebude dělitelný binomickým x - 1.
Příklad 3
Vypočítejte hodnotu m tak, aby zbytek dělení polynomu
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 x x - 2 je 6.
Máme to, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8 m = 6-38 + 3
- 8 m = 9 - 38
- 8 m = - 29
m = 29/8
Příklad 4
Vypočítejte zbytek dělení 3x polynomu³ + x² - 6x + 7 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Mark Noah
Vystudoval matematiku
Tým brazilské školy

Polynomy - Matematika - Brazilská škola

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm