Uspořádání s opakováním: co to je, vzorec, příklady

Víme jak opakované uspořádání nebo úplné uspořádání, všechna uspořádaná přeskupení, s nimiž můžeme vytvořit k prvky sady s Ne prvky s prvkem Ne se mohou objevit více než jednou. THE kombinatorická analýza je to oblast matematiky, která rozvíjí techniky počítání, aby našla počet možných shluků v určitých situacích.

Mezi těmito seskupeními je uspořádání s opakováním, přítomné například v vytváření hesel, poznávacích značekmezi ostatními. K vyřešení těchto situací použijeme aranžovací vzorec s opakováním jako technikou počítání. Existují různé vzorce pro výpočet opakujícího se uspořádání a neopakujícího se uspořádání, takže je důležité vědět, jak každou z těchto situací odlišit, aby bylo možné použít správnou techniku ​​počítání.

Přečtěte si také: Základní princip počítání - hlavní koncept kombinatorické analýzy

Co je uspořádání s opakováním?

Existuje výroba s opakováním při výrobě desek vozidel. [1]

V našem každodenním životě narazíme na situace, které zahrnují sekvence a seskupení, která se objevují v vybírejte hesla ze sociálních sítí nebo banky a také o telefonních číslech nebo situacích, které s tím souvisejí fronty. Každopádně jsme obklopeni situacemi, které zahrnují tato seskupení.

Například na poznávacích značkách, které se skládají ze tří písmen a čtyř čísel, je a jedinečný řetězec podle stavu, který identifikuje každé z automobilů, v tomto případě pracujeme ujednání. Když je možné prvky opakovat, pracujeme s úplným uspořádáním nebo uspořádáním s opakováním.

Vzhledem k sadě s Ne prvky známe jako uspořádání s opakováním všechna seskupení, se kterými se můžeme vytvořit k prvky tohoto soubor, kde lze prvek opakovat vícekrát. Například na poznávacích značkách vozidel je to počet možných poznávacích značek, které můžeme vytvořit s ohledem na to, že mají tři písmena a čtyři čísla a že písmena a čísla lze opakovat.

Pro výpočet počtu možných opakujících se uspořádání používáme velmi jednoduchý vzorec.

Uspořádání vzorec s opakováním

Chcete-li zjistit celou částku ujednání Ne odlišné prvky převzaté z k v

Ach, v dané situaci, která umožňuje opakování prvku, použijeme následující vzorec:

VZDUCH_Ne,_k = Ne^k

AR → uspořádání s opakováním
Ne → počet prvků v sadě
k → počet prvků, které budou vybrány

Podívejte se také: Jednoduchá kombinace - spočítat všechny podmnožiny dané sady

Jak vypočítat číslo opakujícího se uspořádání

Chcete-li lépe pochopit, jak použít vzorec opakovaného uspořádání, podívejte se na příklad níže.

Příklad 1:

Heslo banky má pět číslic složených výhradně z čísel, jaký je počet možných hesel?

Víme, že heslo je pětimístný řetězec a že neexistuje žádné omezení opakování, proto použijeme vzorec uspořádání s opakováním. Uživatel si musí vybrat mezi 10 číslicemi, která budou skládat každou z pěti číslic tohoto hesla, to znamená, že chceme vypočítat uspořádání s opakováním 10 prvků každých pět.

VZDUCH_10,5 = 10⁵ = 10.000

Existuje tedy 10 000 možností hesla.

Příklad 2:

Kolik poznávacích značek je možné vytvořit, když víte, že poznávací značky vozidel jsou tvořeny třemi písmeny a čtyřmi čísly?

Naše abeceda se skládá z 26 písmen a existuje 10 možných čísel, rozdělme se tedy na dvě úplná pole a najděte počet možných polí pro písmena a čísla.

VZDUCH_26,3 = 26³ = 17.576
VZDUCH₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Celkový počet možných uspořádání je tedy:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Rozdíl mezi jednoduchým a opakovaným uspořádáním

Odlišení jednoduchého uspořádání od uspořádání s opakováním je zásadní pro řešení problémů na dané téma. Důležité pro rozlišení je uvědomit si, že když se jedná o situaci, ve které existují přeskupení, jejichž pořadí je důležité, je ujednání, a pokud tyto přeskupení připouštějí opakování mezi pojmy, jedná se o ujednání s opakováním, známé také jako ujednání kompletní. Když přeskupení neumožňuje opakování, je to o jednoduché uspořádání.

Vzorec pro jednoduché uspořádání se liší od vzorce, který používáme pro opakované uspořádání.

Příklady opakovaného uspořádání jsme již viděli dříve, nyní vidíme příklad jednoduchého uspořádání

Příklad:

Paulo chce dát na svou polici tři ze svých 10 školních knih, které se navzájem liší, kolik způsobů může tyto knihy uspořádat?

Všimněte si, že v tomto případě je pořadí důležité, ale neexistují žádná opakování, protože se jedná o jednoduché uspořádání. Chcete-li zjistit počet možných seskupení, musíme:

Chcete-li se dozvědět více o této další formě seskupování používané v kombinatorické analýze, přečtěte si text: THEjednoduché uspořádání.

Vyřešená cvičení:

Otázka 1 - (Enem) Banka požádala své zákazníky, aby si vytvořili osobní šestimístné heslo, které se skládá pouze z čísel od 0 do 9, pro přístup k běžnému účtu přes internet. Specialista na elektronické bezpečnostní systémy však doporučil, aby vedení banky přeregistrovalo své uživatele a požádalo o to každé z nich, vytvoření nového hesla se šesti číslicemi, které nyní umožňuje používat kromě písmen od 0 do 26 písmen abecedy 9. V tomto novém systému bylo každé velké písmeno považováno za odlišné od jeho malé verze. Kromě toho bylo zakázáno použití jiných typů postav.

Jedním ze způsobů, jak vyhodnotit změnu v systému hesel, je zkontrolovat koeficient zlepšení, což je důvodem pro nový počet možností hesla ve vztahu ke starému. Doporučený koeficient zlepšení změny je:

Řešení

Alternativa A

Staré heslo je pole s opakováním, protože může být složeno ze všech čísel, takže se jedná o pole 10 prvků každých šest.

VZDUCH_10,6 = 10⁶

Nové heslo může obsahovat 10 číslic a také velká písmena (26 písmen) a malá písmena (26 písmen), takže heslo má pro každou číslici celkem 10 + 26 + 26 = 62 možnosti. Jelikož existuje šest číslic, vypočítáme uspořádání s opakováním 62 prvků každých šest.

VZDUCH_62,6 = 62⁶

THE důvod nového počtu možností hesla ve srovnání se starým se rovná 62⁶/10⁶.

Otázka 2 - (Enem 2017) Společnost vybuduje své webové stránky a doufá, že přiláká publikum přibližně jednoho milionu zákazníků. Pro přístup na tuto stránku budete potřebovat heslo ve formátu, který bude definován společností. Existuje pět možností formátování, které programátor nabízí, popsaných v tabulce, kde „L“ a „D“ představují velká písmena a číslice.

Písmena abecedy, mezi 26 možnými, jakož i číslice mezi 10 možnými, lze opakovat v kterékoli z možností.

Společnost chce zvolit možnost formátu, jehož počet možných odlišných hesel je větší než očekávaný počet zákazníků, ale tento počet nepřesahuje dvojnásobek očekávaného počtu zákazníky.

Řešení

Alternativní E

Výpočetem každé z možností chceme najít heslo, které má více než milion možností a méně než dva miliony možností.

I → LDDDDD

26 ·10⁵ je větší než dva miliony, takže nesplňuje požadavek společnosti.

II → DDDDDD

10⁶ se rovná jednomu milionu, takže nesplňuje požadavek společnosti.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ je větší než dva miliony, takže nesplňuje požadavek společnosti.

IV → DDDDD

10⁵ je to méně než milion, takže nesplňuje požadavek společnosti.

V → LLLDD

26³ · 10² je mezi milionem a dvěma miliony, takže tato šablona hesla je ideální.

Obrazový kredit

[1] Rafael Berlandi / Shutterstock

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm