ا خطة Argand-Gauss يتكون من محورين: أحدهما عمودي (يُعرف بالمحور التخيلي) والآخر أفقيًا (يُعرف بالمحور الحقيقي). إنه ممكن تمثل هندسيا ارقام مركبةالتي هي في شكل جبري.
من خلال هذا التمثيل الهندسي ، فمن الممكن تطوير بعض المفاهيم ، مثل الوحدة والحجة لعدد مركب. يتم تمثيل الأعداد المركبة جبريًا بواسطة z = a + bi ، لذلك يتم تمثيلها بالنقاط (أ ، ب) ، والتي تسمى علامة.
اقرأ أيضا: التمثيل الهندسي لمجموع الأعداد المركبة
التمثيل الهندسي للأعداد المركبة
الطائرة المعقدة ، والمعروفة أيضًا باسم طائرة Argand-Gauss ، ليست أكثر من aفكرة مبدعة للأعداد المركبة. في مستوى Argand-Gauss ، من الممكن تمثيل رقم مركب كنقطة ، والمعروفة باسم العنوان. مع تطوير الخطة المعقدة ، هناك تطور ال الهندسة التحليلية للأعداد المركبة، مما يجعل من الممكن تطوير مفاهيم مهمة مثل الوحدة والحجة.
العدد المركب الممثل في صورته الجبرية هو ض = أ + ثنائيةعلى ماذا ال هو الجزء الحقيقي و ب هو الجزء التخيلي. لذلك، يتم تمثيل الأعداد المركبة كنقطة (أ ، ب). في مستوى Argand-Gauss ، يكون المحور الأفقي هو محور الجزء الحقيقي والمحور الرأسي هو محور الجزء التخيلي.
اللصق
ا نقطة على المستوى تمثل عددًا مركبًا يطلق عليه أيضًا لقب. هناك ثلاث حالات محتملة للتمثيل: الألقاب التخيلية ، واللواحق الحقيقية واللواحق الخيالية البحتة.
ألقاب خيالية
تُعرف اللاحقة باسم وهمي عندما يكون للرقم المركب كلاهما a جزء حقيقي وجزء وهمي غير صفري. في هذه الحالة ، تكون العلامة نقطة في أي من الأرباع الأربعة ، اعتمادًا على قيم أ ، ب وعلامات كل منها.
مثال:
انظر تمثيل الأعداد المركبة ض1 = 2 + 3 ط ، ض2 = -3 - 4 ط ، ض3 = -2 + 2i و z4= 1 - 4 ط.
نرى أيضا: الخصائص التي تنطوي على أعداد مركبة
ألقاب خيالية نقية
يُعرف العدد المركب بأنه رقم وهمي خالص ، عندما يساوي الجزء الحقيقي الخاص بك صفرًا، وهذا هو ، z = bi. لاحظ أنه في هذه الحالة ، يكون الإحداثي الأول دائمًا صفرًا ، لذلك دعونا نعمل مع نقاط من النوع (0 ، ب). عند وضع علامة في مستوى Argand-Gauss ، دائمًا ما يكون هناك لقب وهمي خالص ستكون نقطة تنتمي إلى المحور التخيلي، وهذا هو المحور الرأسي.
مثال:
انظر تمثيل الأعداد المركبة ض1 = 2i و z2= -3 ط.
الألقاب الحقيقية
يتم تصنيف الرقم المركب على أنه a عدد حقيقيعندما الخاص بك الجزء التخيلي يساوي صفرًا، أي z = a. في هذه الحالة ، يكون الإحداثي الثاني دائمًا صفرًا ، لذلك سنعمل مع نقاط من النوع (أ ، 0) ، وبالتالي فإن الجزء التخيلي هو صفر ويتم تضمين اللواحق في المحور الحقيقي للمستوى المعقد.
مثال:
انظر تمثيل الأعداد المركبة ض1 = 2 و ض2 = -4.
وحدة الرقم المركب
عند تمثيل رقم مركب ، اجعل P (a ، b) هي اللاحقة للعدد المركب z = a + bi. نعرف وحدة العدد المركب a المسافة من النقطة P إلى الأصل. مقياس العدد المركب z يمثله | z |. لإيجاد قيمة | z | ، نستخدم امتداد نظرية فيثاغورس.
| ض | ² = أ² + ب²
يمكننا أيضًا التمثيل من خلال:
مثال:
أوجد مقياس العدد المركب z = 12 -5i.
| ض | ² = 12² + (-5) ²
| ض | ² 144 + 25
| ض | ² = 169
| ض | = √169
| ض | = 13
الوصول أيضًا إلى: ما هي الأعداد المنطقية؟
حجة العدد المركب
نحن نعرف كيف جدال لعدد مركب ا زاوية θ شكلتها المتجه OP والمحور الحقيقي. يتم تمثيل وسيطة الرقم بواسطة arg (z) = θ.
لإيجاد الزاوية ، نستخدم النسب المثلثية الجيب وجيب التمام.
لإيجاد قيمة الوسيطة ، ومعرفة الجيب وجيب التمام ، فقط راجع جدول القيم لهذه النسب المثلثية. عادة ، في امتحانات القبول بالجامعة حول هذا الموضوع ، تكون الحجة أ زاوية رائعة.
مثال:
أوجد وسيطة العدد المركب z = 1 + i.
لنحسب أولًا مقياس z.
| ض | ² = 1² + 1²
| ض | ² = 1 + 1
| ض | ² = 2
| ض | = √2
بمعرفة | z | ، يمكننا حساب الجيب وجيب التمام من الزاوية.
الزاوية التي بها جيب وجيب بقيمتيهما هي 45º.
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - ما سعة العدد المركب z = √3 + i؟
أ) 30
ب) 45
ج) 60
د) 90 درجة
هـ) 120
القرار
البديل C.
نحن نعلم أن a = and3 و b = 1 ، لذلك:
السؤال 2 - في الخطة المعقدة التالية ، تم تمثيل بعض الأرقام. عند تحليل الخطة ، يمكننا القول أن النقاط هي تمثيلات لأرقام خيالية خالصة:
أ) M و N و I.
ب) P و I.
ج) لام وج.
د) يا ، أنا ، ج.
ه) K و J و L.
القرار
البديل ب.
لتحديد رقم وهمي خالص في المستوى المعقد ، من الضروري أن يكون أعلى المحور الرأسي ، والذي يكون في هذه الحالة النقطتان P و I.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
