الدائرة المثلثية هي دائرة نصف قطرها 1 ممثلة في فكرة مبدعة. في ذلك ، يكون المحور الأفقي هو محور جيب التمام والمحور الرأسي هو محور الجيب. يمكن أن يطلق عليها أيضًا دورة مثلثية.
يتم استخدامه لإجراء دراسة النسب المثلثية. مع ذلك ، من الممكن فهم الأسباب المثلثية الرئيسية بشكل أفضل الزوايا أكبر من 180 درجة ، وهي: الجيب وجيب التمام والظل.
اقرأ أيضا: 4 أخطاء شائعة في علم المثلثات الأساسي
خطوة بخطوة لبناء الدائرة المثلثية
لبناء الدائرة المثلثية ، نستخدم محورين، عمودي وآخر أفقي ، مثل المستوى الديكارتي. يُعرف المحور الأفقي باسم محور جيب التمام والمحور العمودي معروف بـ المحور الجيبي.
ببناء المحاور ، دعنا نرسم الرسم البياني لدائرة نصف قطرها 1.
النسب المثلثية في الدائرة
نستخدم الدائرة لإيجاد قيمة الجيب وجيب التمام والظل، وفقًا لقيمة الزاوية. وجود في المحور الرأسي قيمة الجيب وعلى المحور الأفقي قيمة جيب التمام، من خلال تحديد زاوية على الدائرة المثلثية ، من الممكن إيجاد قيمة الجيب وجيب التمام من خلال تحليل إحداثيات النقطة التي يربط فيها مقطع الخط بمركز الدائرة ومحيطها ، ممثلة بـ P في الصورة a إتبع. إذا رسمنا خط المماس للدائرة عند النقطة (1.0) ، فيمكننا أيضًا حساب ظل هذه الزاوية تحليليًا وفقًا للصورة:
اقرأ أيضا: ما هي قاطع التمام وظل التمام؟
راديان الدائرة المثلثية
نحن نعلم أنه يمكن قياس القوس باستخدام وحدتي قياس مختلفتين: القياس بالدرجات والقياس في راديان. نحن نعرف ذلك محيط 360 درجة وأن طول القوس الخاص بك هو 2π:
أرباع الدائرة المثلثية
سواء كان بالراديان أو بالدرجات ، من الممكن تحديد الربع الذي يوجد فيه قوس معين وفقًا للقياس.
عند تحليل الدورة ، علينا:
الربع الأول: الزوايا التي تتراوح بين 0 إلى 90 درجة أو 0 و / 2 راديان ؛
الربع الثاني: الزوايا التي تتراوح بين 90 درجة و 180 درجة أو π / 2 و راديان ؛
الربع الثالث: الزوايا بين 180 درجة و 270 درجة أو و 3 3/2 راديان ؛
الربع الرابع: بين 270 درجة و 360 درجة أو 3 or / 2 و 2π راديان.
اقرأ أيضا: خصائص وخصائص الخطة
زوايا ملحوظة في الدائرة المثلثية
في بداية دراسة علم المثلثات، علمنا أن الزوايا البارزة هي زوايا 30 و 45º و 60º ، والتي لها قيمة الجيب وجيب التمام والظل المعروفين. ومع ذلك ، بسبب تناظر الدورة المثلثية ، من الممكن إيجاد قيم الجيب وجيب التمام لهذه الزوايا والزوايا المتماثلة له في كل من الأرباع.
علامات الدائرة المثلثية
لفهم ما هي علامة كل من النسب المثلثية في الدورة ، يكفي تحليل قيم المحور في المستوى الديكارتي.
لنبدأ بجيب التمام. نظرًا لأنه هو المحور الأفقي ، يكون جيب التمام للزوايا المدرجة على يمين المحور الرأسي موجبًا ، وجيب تمام الزوايا المدرجة على يسار المحور الرأسي سالب.
الآن ، لفهم إشارة الجيب للزاوية ، تذكر فقط أن المحور الرأسي هو محور الجيب ، لذا فإن جيب الزاوية أعلى المحور الأفقي يكون موجبًا ؛ أما إذا كانت الزاوية أسفل المحور الأفقي ، فإن جيب هذه الزاوية يكون سالبًا كما هو موضح في الصورة التالية:
نحن نعرف ذلك الظل هو النسبة بين الجيب وجيب التمام، إذن ، للعثور على علامة المماس لكل من الأرباع ، نلعب لعبة الإشارة ، والتي تجعل المماس موجبًا في الأرباع الفردية وسالب في الأرباع الزوجية:
اقرأ أيضا: ما هي شبه مستقيمة وشبه مستوية وشبه فضاء؟
التناظر في الدائرة
تحليل الدورة المثلثية ، من الممكن بناء طريقة لتقليل الجيب وجيب التمام والظل إلى الربع الأول. يعني هذا التخفيض إيجاد في الربع الأول زاوية متناظرة مع زاوية الأرباع الأخرى ، لأنه عندما نعمل بزاوية متماثلة ، فإن قيمة النسب المثلثية هي نفسها ، وتغير فقط الإشارة.
اختزال الزاوية الموجودة في الربع الثاني إلى الربع الأول
بدءًا من الزوايا الموجودة في الربع الثاني ، يتعين علينا:
كما نعلم ، في الربعين الأول والثاني ، الجيب موجب. لذلك ، لحساب تقليل الجيب من الربع الثاني إلى الربع الأول ، نستخدم الصيغة:
الخطيئة س = الخطيئة (180º - س)
جيب التمام والظل في الربع الثاني سالبان. لتقليل جيب التمام من الربع الثاني إلى الربع الأول ، نستخدم الصيغة:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
مثال:
ما قيمة الجيب وجيب التمام لزاوية 120 درجة؟
الزاوية 120 درجة هي زاوية ربع ثانية حيث تتراوح بين 90 درجة و 180 درجة. لتقليل هذه الزاوية إلى الربع الأول ، نحسب:
الخطيئة 120 درجة = الخطيئة (180 درجة - 120 درجة)
الخطيئة 120º = الخطيئة 60º
الزاوية 60 درجة زاوية ملحوظة ، لذا فإن قيمتها الجيب معروفة ، لذلك:
الآن دعنا نحسب جيب التمام الخاص بك:
cos 120º = - cos (180-120)
cos 120º = - cos 60º
كما نعلم جيب تمام 60º ، علينا أن:
تصغير الزاوية الموجودة في الربع الثالث إلى الربع الأول
كما في الربع الثاني ، هناك تناظر بين الزوايا في الربع الثالث والزوايا في الربع الأول.
الجيب وجيب التمام في الربع الثالث سالبان. لذلك ، لتقليل الجيب وجيب التمام من الربع الثالث إلى الربع الأول ، نستخدم الصيغة:
الخطيئة س = - الخطيئة (س - 180 درجة)
cosx = - cos (x - 180 درجة)
الظل في الربع الثالث موجب. لتقليله ، نستخدم الصيغة:
tg x = tg (x - 180 درجة)
مثال:
احسب الجيب وجيب التمام والظل لـ 225º.
الخطيئة 225º = - الخطيئة (225º - 180º)
الخطيئة 225º = - الخطيئة 45º
نظرًا لأن 45 درجة زاوية رائعة ، عند الرجوع إلى الطاولة ، يتعين علينا:
الآن ، بحساب جيب التمام ، علينا:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
نحن نعلم أن tg45º = 1 ، لذلك:
tg 225º = 1
اختزال الزاوية الموجودة في الربع الرابع إلى الربع الأول
مع نفس المنطق مثل التخفيضات السابقة ، هناك تناظر بين الربع الرابع والأول:
قيمتا الجيب والماس في الربع الرابع سالبة. لذلك ، لإجراء الخفض من الربع الرابع إلى الربع الأول ، نستخدم الصيغة:
الخطيئة س = - الخطيئة (360º - س)
tg x = - tg (360º - x)
جيب التمام في الربع الرابع موجب. لذلك ، للاختزال إلى الربع الأول ، تكون الصيغة هي:
كوس س = كوس (360º - س)
مثال:
احسب قيمة الجيب وجيب التمام لـ 330º.
بدءا من الجيب:
الآن حساب جيب التمام:
اقرأ أيضا: كيف تحسب المسافة بين نقطتين في الفضاء؟
تمارين حل الدائرة المثلثية
السؤال رقم 1 - أثناء دراسة اللحظة الدائرية ، قام أحد الفيزيائيين بتحليل جسم يدور حول نفسه ، مكونًا زاوية مقدارها 15240 درجة. عند تحليل هذه الزاوية ، يكون القوس الذي يتكون منها في:
أ) الربع الأول.
ب) الربع الثاني.
ج) الربع الثالث.
د) الربع الرابع.
هـ) فوق أحد المحاور.
القرار
البديل ب.
نعلم أن كل 360 درجة يكون هذا الجسم قد أكمل دائرة حول نفسه. عند أداء ملف قطاع من 15.240 × 360 ، سنجد عدد الدورات الكاملة التي أحدثها هذا الكائن حول نفسه ، لكن اهتمامنا الرئيسي ينصب على الباقي ، والذي يمثل الزاوية التي توقف عندها.
15.240: 360 = 42,333…
تظهر النتيجة أنه قام بـ 42 دورة حول نفسه ، ولكن 360 · 42 = 15.120 ، لذلك ترك زاوية:
15.240 – 15.120 = 120º
نعلم أن 120 ° زاوية ربع ثانية.
السؤال 2 - يرجى الحكم على العبارات التالية:
I → عند حساب tg 140º ، ستكون القيمة سالبة.
II → الزاوية 200 درجة هي زاوية الربع الثاني.
III → Sen 130º = sin 50º.
ضع علامة على البديل الصحيح:
أ) أنا فقط كاذب.
ب) أنا فقط خاطئ.
ج) فقط الثالث هو خطأ.
د) كلها صحيحة.
القرار
البديل ب.
I → صحيح ، لأن الزاوية 140 درجة تنتمي إلى الربع الثاني ، حيث يكون الظل دائمًا سالبًا.
II → خطأ ، حيث أن الزاوية 200 درجة هي زاوية الربع الثالث.
III → صحيح ، لأنه لتقليل زاوية من الربع الثاني إلى الربع الأول ، ما عليك سوى حساب الفرق 180 درجة - x ، ثم:
sin 130 ° = sin (180 ° - 130 °)
الخطيئة 130 = الخطيئة 50
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
