العمليات مع المتجهات والتمثيلات الهندسية

على عكس الأشكال الهندسية التي شكلها ، فإن نتيجة ليس له تعريف. هذا يعني ، في الهندسة ، أن النقطة هي كائن غير محدد يستخدم في تعريف كائنات أخرى. الخطوط ، على سبيل المثال ، هي مجموعات من النقاط. على الرغم من أنها تبدو محددة جيدًا ، إلا أن الخطوط ليس لها تعريف أيضًا ، حيث يتم اعتبار أي مجموعة تحتوي على نقطتين أو أكثر مستقيمة.

من ناحية أخرى ، في الهندسة التحليلية ، يتم أخذ النقطة كموقع. يمكن تمثيل أي موقع بنقطة ، بالإضافة إلى "عنوان" تلك النقطة عن طريق الإحداثيات.

ومع ذلك ، في الهندسة التحليلية ، يمكن للنقاط فقط تحديد المواقع. هناك حاجة إلى كائنات أخرى للإشارة إلى المسار والاتجاه والاتجاه والشدة. في حالة الثلاثة الأخيرة ، يكون الكائن المختار لتمثيلهم في المستوى الديكارتي هو المتجه.

→ ما هو المتجه؟

ثلاثة أبعادلذلك ، هي كائنات تشير إلى الاتجاه والإحساس والشدة. وعادة ما يتم تمثيلها بواسطة الأسهم ، والتي تبدأ من الأصل ، ويتم استخدام إحداثيات النقطة الأخيرة.

في الصورة أعلاه ، يتم تمثيل المتجهات بهذه الطريقة ، أي الأسهم التي تتوافق إحداثياتها مع نقطتها النهائية. يحتوي المتجه u على إحداثيات (2،2) والمتجه v له إحداثيات (4،2) أيضا ، يتم استخدام السهم للإشارة إلى الاتجاه والاتجاه ، ويشير حجمه إلى الشدة.

→ الضرب المتجه برقم

بالنظر إلى المتجه v = (أ ، ب) ، يتم إعطاء حاصل ضرب العدد الحقيقي k بواسطة v بالتعبير:

ك · ت = ك · (أ ، ب) = (ك · أ ، ك · ب)

بمعنى آخر ، لضرب رقم حقيقي في متجه ، يجب عليك ضرب الرقم الحقيقي في كل إحداثياته.

هندسيًا ، يؤدي ضرب المتجه برقم حقيقي إلى زيادة حجم المتجه خطيًا:

لاحظ أنه في المثال أعلاه ، يحتوي المتجه u على إحداثيات (2.2) والمتجه u · k له إحداثيات (4.4). بحل المعادلة (4.4) = k (2.2) ، يمكننا استنتاج أن k = 2.

→ إضافة ناقلات

بالنظر إلى متجهين u = (أ ، ب) و v = (ج ، د) ، سيتم الحصول على المجموع بينهما من خلال التعبير:

u + v = (أ + ج ، ب + د)

بمعنى آخر ، ما عليك سوى جمع الإحداثيات المقابلة لكل متجه. هذه العملية قابلة للتوسيع لمجموع 3 متجهات أو أكثر بثلاثة أبعاد أو أكثر.

هندسيًا ، بدءًا من نقطة نهاية المتجه u ، يتم رسم المتجه v 'بالتوازي مع المتجه v. بدءًا من المتجه v ، يتم رسم المتجه u 'بالتوازي مع المتجه u. هذه المتجهات الأربعة تشكل متوازي أضلاع. المتجه u + v هو القطر التالي لمتوازي الأضلاع هذا:

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

لطرح المتجهات ، ضع في اعتبارك الطرح على أنه مجموع متجه وعكس الآخر. على سبيل المثال ، لطرح المتجه v من المتجه u ، اكتب: u - v = u + (-v). المتجه -v هو متجه v ، لكن مع عكس إشارات الإحداثيات.

إذا نظرنا عن كثب ، فإن العمليات "ضرب المتجه برقم" و "إضافة المتجهات" الاستفادة من عمليات الضرب والجمع على الأعداد الحقيقية ، ولكن على كل مكون من مكونات المتجه. لذلك ، بالنسبة للناقلات ، فإن جميع خصائص جمع وضرب الأعداد الحقيقية صالحة ، وهي:

بالنظر إلى المتجهين u و v و w والأرقام الحقيقية k و l ،

أنا) (ش + ت) + ث = ش + (ع + ث)

ب) ش + ت = ت + ش

iii) يوجد متجه 0 = (0.0) مثل v + 0 = v

4) يوجد متجه -v مثل v + (-v) = 0

ت) ك (ش + ت) = كو + كيلو فولت

vi) (k + l) v = kv + lv

السابع) كلل (ت) = ك (لف)

ثامنا) 1v = v

→ معيار المتجه

معيار المتجه هو ما يعادل حجم الرقم الحقيقي ، أي المسافة بين المتجه والنقطة (0،0) أو ، اعتمادًا على الإطار المرجعي ، طول المتجه.

يتم الإشارة إلى معيار المتجه v = (a ، b) بواسطة || v || ويمكن حسابها باستخدام التعبير:

|| v || = √ (أ² + ب²)

→ منتج داخلي

المنتج الداخلي يمكن مقارنته بالمنتج بين المتجهات. لاحظ أن المنتج المذكور أعلاه هو حاصل ضرب بين متجه ورقم حقيقي. الآن ، "المنتج" المعني بين متجهين. ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يقول "منتج بين متجهين" ، بل "منتج داخلي بين متجهين". يتم الإشارة إلى المنتج الداخلي بين المتجهات v = (أ ، ب) و u = (ج ، د) بواسطة ويمكن حسابها على النحو التالي:

= أ · ج + ب · د

من المعتاد أيضًا استخدام الترميز التالي:

=

لاحظ أنه باستخدام معيار المتجه v = (أ ، ب) ، يمكننا ربط القاعدة وحاصل الضرب النقطي.

|| v || = √ (أ² + ب²) = √ (أ · أ + ب · ب) = √ ()

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات