الدوال المثلثية لنصف القوس

تسمح دراسة علم المثلثات بتحديد قيم الجيب وجيب التمام والظل لزوايا مختلفة بناءً على القيم المعروفة. في صيغ إضافة القوسهي الأكثر استخدامًا لهذا الغرض:

sin (a + b) = sin a · cos b + sin b · cos a
الخطيئة (أ - ب) = sin a · cos b - sin b · cos a
cos (a + b) = cos a · cos b - sin a · sin b
cos (a - b) = cos a · cos b + sin a · sin b

tg (أ + ب) = tg a + tg b
1 - tg a · tg b

tg (أ - ب) = tg a - tg b
​1 + tg a · tg b

من هذه الصيغ ، من السهل تحديد كيفية المتابعة عند الزوايا ال و ب إنهم متشابهون. في هذه الحالة ، نقول أن الأمر يتعلق بـ الدوال المثلثية للقوس المزدوج. هل هم:

sin (2a) = 2 · sin a · cos a
cos (2a) = cos² a - sin² أ

tg (2a) = 2 · tg a1 - tg² إلى

من هذه الدوال ، نحدد الدوال المثلثية لنصف القوس. ضع في اعتبارك ما يلي الهوية المثلثية:

sin² a + cos² a = 1
sin² a = 1 - cos² a

دعنا نستبدل sen² إلى في cos (2a) = cos² a - sin² أ:

cos (2a) = cos² a - sen² إلى
cos (2a) = cos² a - (1 - كوس² أ)
cos (2a) = cos² a - 1 + cos² a
cos (2a) = 2 · cos² a - 1

لكننا نبحث عن الصيغة الصحيحة لنصف القوس. للقيام بذلك ، اعتبر ذلك  إنه نصف القوس ال، وأينما وجدت الثاني ، سوف نستخدم فقط ال:

عزل cos² (^ال/₂):

ثم لدينا صيغة حساب جيب تمام نصف القوس. منه سنحدد شرط . من المتطابقة المثلثية لدينا:

sin² a + cos² a = 1
cos² a = 1 - sin² أ

استبدال cos² أ في صيغة جيب التمام للقوس المزدوج ، cos (2a) = cos² a - sin² a ، سيكون لدينا:

كوس (2 أ) = cos² أ - sen² إلى
كوس (2 أ) = (1 - سين² أ) - sen² إلى
cos (2a) = 1 - 2 · sin² أ

مرة أخرى ، لنفكر في نصف الأقواس في cos (2a) = 1 - 2 · sin² a. سيبقى بعد ذلك:

عزل سين² (^ال/₂), سيكون لدينا:

الآن وقد أوجدنا أيضًا صيغة جيب نصف القوس ، يمكننا تحديد مماس . هكذا:

​

​

ثم حددنا صيغة حساب نصف قوس ظل.

بقلم أماندا غونسالفيس
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-trigonometrica-arco-metade.htm