تقسيم كثيرات الحدود: الطرق وخطوة بخطوة

تقسيم كثيرات الحدود طرق دقة مختلفة. سوف نقدم ثلاث طرق لهذا التقسيم: طريقة ديكارت (يتم تحديد المعاملات) ، الطريقة الرئيسية وجهاز Briot-Ruffini العملي.

اقرأ أكثر: المعادلة متعددة الحدود: الشكل وكيفية الحل

تقسيم متعدد الحدود

عند قسمة كثير الحدود P (x) على كثير حدود غير صفري D (x) ، حيث تكون درجة P أكبر من D (_ص > _د) ، يعني أنه يجب علينا إيجاد كثير الحدود Q (x) و R (x) ، بحيث:

لاحظ أن هذه العملية تعادل الكتابة:

P (x) → المقسوم

D (x) → المقسوم عليه

س (س) → حاصل القسمة

R (x) → الباقي

من خصائص التقوية، يجب علينا درجة حاصل القسمة تساوي الفرق بين درجات المقسوم والمقسوم عليه.

_{س = ف - د}

أيضًا ، عندما يكون باقي القسمة بين P (x) و D (x) يساوي صفرًا ، نقول أن P (x) تساوي قابل للقسمة بواسطة D (x).

يمكن حل قسمة كثيرات الحدود بطرق مختلفة.

قواعد تقسيم متعدد الحدود

• طريقة المعاملات التي سيتم تحديدها - طريقة المرتجع

لإجراء القسمة بين كثيرات الحدود P (x) و D (x) ، بدرجة P أكبر من درجة D ، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1 - تحديد درجة حاصل كثير الحدود Q (x) ؛

الخطوة 2 - خذ أكبر قدر ممكن من الدرجة لبقية القسمة R (X) (تذكر: R (x) = 0 أو _ر < _د);

الخطوه 3 - اكتب Q و R كثيرات الحدود بالمعاملات الحرفية ، بحيث يكون P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).

• مثال

مع العلم أن P (x) = 4x³ - س² + 2 وأن D (x) = x² + 1 ، حدد حاصل كثير الحدود والباقي.

درجة حاصل القسمة هي 1 للأسباب التالية:

_س =_{ف - د}

_س =3 – 2

_س = 1

لذلك في كثير الحدود Q (x) = a · x + b ، الباقي R (x) هو متعدد الحدود يمكن أن تكون أعلى درجة له ​​1 ، ومن ثم: R (x) = c · x + d. استبدال البيانات في حالة الخطوة 3 ، لدينا:

بمقارنة معاملات كثيرات الحدود ، لدينا:

ومن ثم ، فإن كثير الحدود Q (x) = 4x-1 و R (x) = -4x + 3.

• طريقة جلديك

وهو يتألف من إجراء القسمة بين كثيرات الحدود بعد نفس فكرة قسمة عددين، الاتصال خوارزمية القسمة. انظر المثال التالي.

مرة أخرى ، لننظر إلى كثيرات الحدود P (x) = 4x³ - س² + 2 و D (x) = x² +1 ، والآن سنقسمهم باستخدام الطريقة الرئيسية.

الخطوة 1 - أكمل كثير الحدود المقسوم بالمعاملات الصفرية ، إذا لزم الأمر.

الفوسفور (س) = 4x³ - س² + 0 x + 2

الخطوة 2 - اقسم الحد الأول من المقسوم على الحد الأول للمقسوم عليه ثم اضرب حاصل القسمة في كل مقسوم عليه. نظرة:

الخطوه 3 - اقسم الباقي من الخطوة 2 على حاصل القسمة وكرر هذه العملية حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة حاصل القسمة.

ومن ثم ، Q (x) = 4x-1 و R (x) = -4x +3.

الوصول أيضًا إلى: جمع وطرح وضرب كثيرات الحدود

• جهاز Briot العمليروفيني

يستعمل ل قسّم كثيرات الحدود على ذات الحدين.

لنفكر في كثيرات الحدود: P (x) = 4x³ + 3 و D (x) = 2x + 1.

تتكون هذه الطريقة من رسم جزأين ، أحدهما أفقي والآخر رأسي ، وعلى هذه المقاطع نضع معامل المقسوم وجذر كثير الحدود المقسوم عليه ، بالإضافة إلى أن الأول يتكرر معامل في الرياضيات او درجة. نظرة:

لاحظ أن أصغر متوسط ​​هو جذر المقسوم عليه وأن المعامل الأول قد تم تقسيمه.

الآن يجب أن نضرب جذر المقسوم عليه في الحد المكرر ونضيفه إلى المصطلح التالي ، انظر:

الرقم الأخير الموجود في الجهاز العملي هو الباقي ، والباقي معاملات حاصل كثير الحدود. يجب أن نقسم هذه الأرقام على المعامل الأول للمقسوم عليه ، في هذه الحالة على 2. هكذا:

لمعرفة المزيد حول طريقة قسمة كثيرات الحدود ، انتقل إلى: تقسيم كثيرات الحدود باستخدام جهاز Briot-Ruffini.

تمارين حلها

السؤال رقم 1 (UFMG) كثير الحدود P (x) = 3x⁵ - 3x⁴ -2x³ + م² يقبل القسمة على D (x) = 3x² - 2x. قيمة م هي:

حل

نظرًا لأن كثير الحدود P قابلة للقسمة على D ، فيمكننا تطبيق خوارزمية القسمة. هكذا،

نظرًا لأنه تم إعطاء كثيرات الحدود قابلة للقسمة ، فإن الباقي يساوي صفرًا. هكذا،

بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm