المعادلات المثلثية هي معادلات تتضمن دوال مثلثية لأقواس غير معروفة. حل هذه المعادلات هو عملية فريدة تستخدم تقنيات الاختزال إلى معادلات أبسط. دعنا نغطي مفاهيم وتعريفات المعادلات في الشكل كوسكس = أ.
المعادلات المثلثية بالصيغة cosx = α لها حلول في الفترة –1 ≤ x ≤ 1. سيتبع تحديد قيم x التي تحقق هذا النوع من المعادلة الخاصية التالية: إذا كان لقوسين جيب تمام متساوٍ ، فإنهما متطابقان أو مكملان..
لنفترض أن x = α يكون حلاً للمعادلة cos x = α. الحلول الأخرى الممكنة هي الأقواس المتطابقة مع القوس α أو القوس - α (أو القوس 2π - α). إذن: cos x = cos α. لاحظ التمثيل في الدورة المثلثية:
خلصنا إلى أن:
س = α + 2kπ ، مع k Є Z أو x = - α + 2kπ ، مع k Є Z
مثال 1
حل المعادلة: cos x = √2 / 2.
من جدول النسب المثلثية ، فإن que2 / 2 يتوافق مع زاوية 45. ثم:
cos x = 2/2 → cos x = / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
وبالتالي ، فإن المعادلة cosx = √2 / 2 تحتوي كحل على جميع الأقواس المتطابقة مع القوس π / 4 أو / 4 أو حتى 2π - π / 4 = 7π / 4. لاحظ الرسم التوضيحي:
نستنتج أن الحلول الممكنة للمعادلة cos x = √2 / 2 هي:
س = π / 4 + 2kπ ، مع k Є Z أو x = - / 4 + 2kπ ، مع k Є Z
مثال 2
حل المعادلة: cos 3x = cos x
عندما يتطابق القوسان 3x و x:
3 س = س + 2 كπ
3 س - س = 2 كيلو أوم
2x = 2kπ
س = كπ
عندما يكون القوسان 3x و x مكملان:
3x = –x + 2kπ
3 س + س = 2 كيلو أوم
4x = 2kπ
س = 2kπ / 4
س = kπ / 2
حل المعادلة cos 3x = cos x هو {x Є R / x = kπ أو x = kπ / 2 ، مع k Є Z}.
بواسطة مارك نوح
تخرج في الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm
