ال وظيفة عكسية، كما يوحي الاسم ، هو الوظيفة f (x)-1، وهو ما يقوم بالضبط بعكس الدالة f (x). لكي تدعم الدالة معكوسًا ، يجب أن تكون كذلك جامع، أي حاقن وطارد في نفس الوقت. يعمل قانون تكوين الدالة العكسية على عكس ما تفعله الدالة f (x).
على سبيل المثال ، إذا كانت الدالة تأخذ قيمة من نطاق ويضيف 2 ، الدالة العكسية ، بدلاً من الجمع ، يطرح 2. أعثر على قانون تكوين الدالة العكسية إنها ليست مهمة سهلة دائمًا ، حيث من الضروري عكس المجهولين x و y ، وكذلك عزل y في المعادلة الجديدة.
اقرأ أيضا:الوظيفة - كل ما تحتاج إلى معرفته لإتقان الموضوع
متى تدعم الدالة معكوس؟
دور غير قابل للعكس، أي أن لها دالة عكسية ، إذا ، وفقط إذا كانت كذلك جامع. من المهم أن تتذكر ما هو ملف وظيفة bijector، وهي وظيفة حاقن، أي أن كل عنصر من عناصر الصورة له نطاق واحد. هذا يعني أن العناصر المختلفة في المجموعة أ تحتاج إلى ربطها بعناصر مختلفة في المجموعة B ، أي لا يمكن أن يكون هناك عنصرين أو أكثر من المجموعة A التي لها نفس المقابل في مجموعة ب.
دور طائش إذا كانت الصورة مساوية للنطاق المقابل، أي أنه لا يوجد عنصر في المجموعة B لا يحتوي على عنصر في المجموعة A مرتبط به.
دع الدالة f: A → B ، حيث A هي المجال و B هي المجال المقابل ، ستكون الوظيفة العكسية لـ f هي الوظيفة الموصوفة بواسطة f-1 : B → A ، أي المجال والمجال المقابل مقلوبان.
مثال:
الوظيفة f: A → B حيوية ، لأنها حقنة (بعد كل شيء ، ترتبط العناصر المميزة في A بـ عناصر مميزة في B) وهي أيضًا خاطفة ، حيث لم يتبق أي عنصر في المجموعة B ، أي ، المجال المقابل هو نفسه جلس صورة.
لذلك فهذه الدالة قابلة للعكس ، وعكسها هو:
كيف يتم تحديد قانون تكوين الدالة العكسية؟
لإيجاد قانون تكوين الدالة العكسية ، نحتاج عكس المجهول، أي استبدال x بـ y و y بـ x ، ثم عزل المجهول y. لهذا ، من المهم أن تكون الوظيفة قابلة للعكس ، أي bijector.
→ مثال 1
أوجد قانون تكوين الدالة العكسية للدالة f (x) = x + 5.
القرار:
نعلم أن f (x) = y ، لذا y = x + 5. بأداء انعكاس x و y ، سنجد ما يلي معادلة:
س = ص + 5
الآن ، دعنا نفصل y:
- 5 + س = ص
ص = س - 5
من الواضح ، إذا كانت f (x) تضيف 5 إلى قيمة x ، فعكسها f (x) - 1 سوف تفعل العكس ، أي x ناقص 5.
→ مثال 2
بالنظر إلى الدالة التي يكون قانون تكوينها f (x) = 2x - 3 ، فما هو قانون تكوين معكوسها؟
→ مثال 3
احسب قانون تكوين معكوس الدالة y = 2x.
القرار:
ص = 2x
تغيير x لـ y:
س = 2ذ
تطبيق اللوغاريتم على كلا الجانبين:
سجل2س = سجل22ذ
سجل2س = ylog22
سجل2س = ص · 1
سجل2س = ص
ص = تسجيل الدخول2x
اقرأ أيضا: الفروق بين الدالة والمعادلة
عكس الرسم البياني للدالة
التمثيل البياني للدالة العكسية f -1 سيكون دائمًا متماثلًا مع الرسم البياني للوظيفة f بالنسبة للخط y = x ، مما يسمح بتحليل سلوك هؤلاء الدوال ، على الرغم من أننا لا نستطيع وصف قانون تكوين الدالة العكسية في بعض الحالات ، بسبب ذلك تعقيد.
اقرأ أيضا: كيف ترسم دالة؟
تمارين حلها
1) إذا كانت f-1 هي الدالة العكسية لـ f ، والتي تنتقل من R إلى R ، والتي قانون تكوينها f (x) = 2x - 10 ، القيمة العددية لـ f -1(2) é:
إلى 1
ب) 3
ج) 6
د) -4
هـ) -6
القرار:
→ الخطوة الأولى: أوجد معكوس f.
→ الخطوة الثانية: استبدل 2 بدلاً من x في ص -1(خ).
البديل C.
2) لنفترض أن f: A → B هي دالة قانون تكوينها هو f (x) = x² + 1 ، حيث A {-2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2} و B = {1،2،5} ، يصح أن نقول:
أ) الوظيفة غير قابلة للعكس ، لأنها bijector.
ب) الوظيفة ليست قابلة للعكس ، لأنها لا تحقن.
ج) الوظيفة ليست قابلة للعكس ، لأنها ليست مفاجئة
د) الوظيفة ليست قابلة للعكس ، لأنها ليست تخيلية ولا عن طريق الحقن.
ه) الوظيفة ليست قابلة للعكس ، لأنها bijector.
القرار:
لكي تكون الوظيفة قابلة للعكس ، يجب أن تكون ذات طابع حيوي ، أي تخيلية وحقنة. أولاً ، دعنا نحلل ما إذا كانت خيالية.
لكي تكون الوظيفة سطحية ، يجب أن يكون لجميع عناصر B نظير في A. لمعرفة ذلك ، دعونا نحسب كل من قيمه العددية.
و (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
و (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
و (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
و (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
و (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
لاحظ أن جميع عناصر B {1،2،5} لها مقابل في A ، مما يجعل الدالة طائش.
لكي تكون هذه الوظيفة حقنة ، يجب أن تحتوي العناصر المميزة عن A على صور مميزة في B ، وهذا لا يحدث. لاحظ أن f (-2) = f (2) وأيضًا أن f (-1) = f (1) ، مما يجعل الوظيفة لا تحقن. نظرًا لأنه ليس حاقنًا ، فهو أيضًا غير قابل للعكس ؛ لذا، البديل ب.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm
